高考数学一轮复习（新高考版）圆锥曲线中范围与最值问题.pdfVIP

§8.11圆锥曲线中范围与最值问题

题型一范围问题

例12（023.淄博模拟）已知F小（,0）是椭员［1C：的,个焦点，点M，在

椭圆C上.

（I）求椭圆C的方程；

2（）若直线/与椭圆C相交于A,8两点，且依八+弱8=一4。为坐标原点），求直线/的斜率

的取值范围.

22

解⑴由题意知，椭圆/十方=1（〃＞比＞0）的左焦点为一（下，0）,

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为弋布（+6）2+Q-）（）2+,=4,

即2〃=4,所以〃=2,

又因为c=，可得力

所以椭圆C的方程为］+}2=l.

2（）当直线/的斜率不存在或斜率为。时，结合椭圆的对称性可知，%A+%8=0,不符合题意.

故设直线/的方程为y=抬:+〃z（N0）,Ax（\,yi）,8必（,2），

y=kx^-m,

联立方程组〈

22

可得(做+1•+8〃〃a+4(/〃2—|)=(),

1—Skm4(/7r—1)

则用+也=元甲，X1X2=47+］，

2

V2(Aivi+m)x2+(A；V2+,〃?(】i+x2)…,-Skni-2k

所以%+%产三

X2X\X2X|X24(/一］)m--J

由ko+koB=-I，可得〃F=4k+1,

A

所以心一点

又由1＞0,可得164（3一川+］）＞o,所以4R—4Q0,解得左＜0或Q1,

综上可得，直线/的斜率的取值范围是［一/0）U（l,+8）.

思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值

范围.

跟踪训练1(2022・济宁模拟)已知抛物线E：)，2=2/以(〃0)上一点C(1，泗)到其焦点F的距离

为2.

(1)求实数〃的值；

(2)若过焦点厂的动直线/与抛物线交于人，B两点,过48分别作抛物线的切线/”3且

/HA的交点为Q，/H上与)，轴的交点分别为M，N.求AQMN面积的取值范围.

解(1)因为点。(1,却)到其焦点r的距离为2,

由抛物线的定义知1+名=2,

解得p=2.

(2)由(1)可知,抛物线E：f=4x,

设痣,9)，戏,”)(.力工0,力工0),

、、|y=4x,

设/:x=ty+1,联立J得)?-4/y—4=0,

x=ry+I,

判别式/=16尸+160,故/£R,

)」+/=4/,yi2=—4,

设八：_》=4刀_1),

y=4x,

联立方程组，

厂V

2

消去整理得妙—4y+4yi—

ky=0,

所以/I=16—4A-(4yi—kyy)

—4(4—4Ayi+2)彳)—o