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为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

41．实际问题

实际问题在许多方面与纯数学问题不同，但求解的中心思想与程序基本上

相同。实际工程问题通常包含数学问题。关于这两类问题的差别、类似之处与

联系，我们在下面将稍加讨沦。

(1)一个令人印象深刻的实际问题是在河上筑坝。了解这个问题不需要什么

特殊的知识。几乎就在史前时期，远在有科学理论的时期之前，人们就在尼罗

河谷以及世界的其他地方建立过某种坝，这些地方的谷物需要灌溉。

让我们想象建筑一个重要的现代堤坝问题。

未知数是什么?这类问题包含许多未知数：坝的确切位置，它的几何形状

和大小，建筑用料等等。

条件是什么?我们无法用一个短句子回答这个问题，因为有许多条件。在

如此庞大的一个项目中，需要满足许多重要的经济要求，并且要尽量不妨碍别

的要求。这坝应提供电力，能灌溉，给某城市供水并有助于控制洪水。另一方

面，它尽量不妨碍搬运、或有重要经济价值的鱼类、或美丽的风景等等。当然

还应该尽量节约，工程进度应尽量快。

已知数据是什么?所需要的数据数量极大。我们需要关于河流及其支流附

近地区的地形地貌数据；对基础的坚固性，可能有的渗漏等重要的地质数据，

以及可用的建筑材料；关于年降雨量和洪水高度方面的气象数据；关于被淹土

地的价值、材料和劳力费用等方面的经济数据，如此等等。

此例说明在实际问题中，未知数、已知数据与条件要比数学问题更复杂并

且定义得没那么清楚。

(2)为了解决一个问题，我们需要有一定数量的、以前获得的知识。现代

工程师具有大量的高度专门化的知识可加以运用，例如材料强度的科学理论、

他本人的经验以及专门技术文献中所贮存的大量工程经验。这里我们不能利用

这些专门知识，但我们可以设想一个古代埃及堤坝的建造者在想些什么。

他当然看见过各式各样的坝(或许较小)：土造的或砖石砌成的防水堤。他

看见过挟带各种泥石的洪水向堤岸压来。他可能协助整治过洪水所产生的侵蚀

与破损。他可能看见过在洪水冲击下决口的堤坝。他肯定听说过关于经受几世

纪考验的堤坝或由于意外决口酿成大祸的故事。在他的脑海中可能已经描绘了一幅河水压迫

堤面和内部应力应变的情景。

然而埃及堤坝建造者并没有关于流体压力或固体内部应力应变方面的精

确定量的科学概念。这些概念是现代工程师的知识库中的主要部分。后者还使

用了不少尚未完全臻于精确科学水平的知识；他所知道的关于流水侵蚀、淤泥

流迂、某些材料的弹塑性以及其他尚未弄清的特性方面的知识，就是这样一种

带有经验性的知识。

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

上述例子表明，在实际问题中所需要的知识和所使用的概念比在数学问题

中更复杂，定义得也不那么清楚。

(3)在实际问题中，未知数、已知数据、条件、概念、所需要的预备知识，

每一项都比纯粹数学问题更复杂，更不清楚。这是重要的差别，或许是主要的

差别，并且它肯定还包含更多的差别；但对于这两类问题来说，求解的基本中

心思想与程序看来却是相同的。

有一种广为流传的意见，即实际问题比数学问题需要更多的经验。这可能

如此。但很可能，这种差别只存在于所需要知识的性质，而不是我们对问题的

态度。在解决这样那样的问题时，我们必须依赖我们在处理类似问题方面的经

验，我们经常问这个问题：你是否见过相同的问题，只是形式上稍有不同?你知

道一个与此有关的问题吗?

在解决一个数学问题时，我们经常从非常清楚的概念出发，这些概念在我

们心中是井然有序的。在解决一个实际问题时，我们被迫从颇为含糊不清的概