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平面向量的知识点的总结(3篇)

平面向量知识点总结一

一、平面向量的基本概念

平面向量是既有大小又有方向的量。我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量的大小也称为向量的模，记作$\vert\vec{a}\vert$。

相等向量是指长度相等且方向相同的向量，与它们的起点位置无关。相反向量则是长度相等但方向相反的向量，向量$\vec{a}$的相反向量记作$-\vec{a}$。平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行。

零向量是长度为0的向量，记作$\vec{0}$，它的方向是任意的。单位向量是模等于1的向量，对于任意非零向量$\vec{a}$，与它同方向的单位向量可以表示为$\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}$。

二、平面向量的线性运算

1.向量的加法

三角形法则：已知非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点$A$，作$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，则向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的和，记作$\vec{a}+\vec{b}$，即$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

平行四边形法则：以同一点$O$为起点的两个已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$为邻边作平行四边形$OACB$，则以$O$为起点的对角线$\overrightarrow{OC}$就是$\vec{a}$与$\vec{b}$的和。

加法运算律：交换律$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；结合律$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$。

2.向量的减法

向量的减法是加法的逆运算。若$\vec{b}+\vec{x}=\vec{a}$，则$\vec{x}=\vec{a}-\vec{b}$。同样可以用三角形法则来作向量的减法，已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}$。

3.向量的数乘

实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的积是一个向量，记作$\lambda\vec{a}$，它的长度和方向规定如下：

$\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert$；

当$\lambda\gt0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$的方向相同；当$\lambda\lt0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$的方向相反；当$\lambda=0$时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。

数乘运算律：结合律$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$；分配律$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$。

三、平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理

如果$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量$\vec{a}$，有且只有一对实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，使$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$。我们把不共线的向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与$x$轴、$y$轴方向相同的两个单位向量$\vec{i}$，$\vec{j}$作为基底。对于平面内的一个向量$\vec{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数$x$，$y$，使得$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$。我们把有序数对$(x,y)$叫做向量$\vec{a}$的坐标，记作$\vec{a}=(x,y)$。

3.平面向量的坐标运算

设$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\ve