中考数学 倍长中线模型巩固练习（基础）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

中考数学

倍长中线模型巩固练习（基础）

1.如图，AD为△ABC的中线．

（1）求证：AB＋AC＞2AD．

（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【解答】（1）证明见解析；（2）1＜AD＜4

【解析】（1）证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，

∴AE＝2AD．

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，

在△ABE中，AB＋BEAE，∴AB＋AC2AD；

（2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC，

在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，

∵AC＝3，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，

∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求证：AB＝AC．

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【解答】证明见解析

【解析】证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．

在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB，∠2＝∠E，

∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，

∴AB＝BE，∴AB＝AC.

3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC．

求证：①CE＝2CD；②CB平分∠DCE．

【解答】证明过程见解析

【解析】证明：如图，延长CD到F，使DF＝CD，连接BF．

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由题意可得CF＝2CD，

∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，

在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF＝AC，∠3＝∠A，

∵CB是△AEC的中线，∴BE＝AB，

∵AC＝AB，∴BE＝AC，∴BE＝BF，

∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠CBE＝∠BCA＋∠A＝∠BCA＋∠3，

∵AC＝AB，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠CBE＝∠CBA＋∠3＝∠CBF，

在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF（SAS），

∴CE＝CF，∠4＝∠5，∴CE＝2CD，∴CB平分∠DCE.

4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．求证：

∠AEF＝∠EAF.

【解答】证明见解析

【解析】证明：如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．

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∵D是BC边的中点，

∴BD＝CD，

在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），

∴∠CAD＝∠M，AC＝MB，

∵BE＝AC，∴BE＝MB，∴∠M＝∠BEM，∴∠CAD＝∠BEM，

∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CAD＝∠AEF，即∠AEF＝∠EAF.

5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于

点G，BG＝CF．求证：AD为△ABC的角平分线．

【解答】证明见解析

【解析】证明：如图，延长FE到M，使EM＝EF，连接BM．

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∵点E是BC的中点，

∴BE＝CE，

在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），

∴CF＝BM，∠F＝∠M，

∵BG＝CF，∴BG＝BM，∴∠3＝∠M，∴∠3＝∠F，

∵AD∥EF，∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，

即AD为△ABC的角平分线．

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，

AE＝BE＝5，求CE的长．

【解答】CE＝2.3

【解析】如图，延长AF交BC的延长线于点G．

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∵AD∥BC，∴∠3＝∠G，

∵点F是CD的中点