导数与微分改.pptVIP

导数与微分改第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日先来看看这个问题yxf（x）=x2x=2s4已知一个汽车变速行驶的距离函数，假如我们想知道2s时的速度，该怎么办……由于速度是在一直变化的，所以使得问题显得复杂第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日在很多的年以前，就引起了数学家的关注，并且通过很多的数学家共同努力已经应用化繁为简的方法解决了这一问题费马于1629最早提出其概念如何实现化繁为简第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日yxf（x）=x2x=2s4将y=x2在x=2初近似成一次函数，便有y=f(x)=4x-4,通过这个式子，就可以求的这辆车的速度其核心思想就是——降阶是不是可以用一次函数g(x)=kx+l来替换？第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日当然这个用来近似的一次函数g（x）也是有要求的误差率=f和g的差异x的变化量f（x）=x2比如说当x=2变成x=2.1时，只是改变了0.1f（2.1）=2.12=4.41g（2.1）=4*2.1-4=4.4误差率=0.01/0.1=10%误差率越小越好第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日如何求解近似一次函数？g(x)=k(x-a)+f(a)----过点（a，f（a））只要求出斜率就可以了误差率=f（a+e）-g（a+e）e=f（a+e）-（ke+f（a））e=f（a+e）-f（a）-ke当e趋近于0时，误差率也趋近于0k=f（a+e）-f（a）lime→0e第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日这里涉及到函数的极限其实函数取极限是一种非常巧妙的思维方式，它可以解决很多的不可能问题，比如刚才的误差率无限趋近于零的来解决斜率问题，并且……在这个一次函数近似的方法中，实现降阶的正是极限啊第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日在这里其实k就是f（x）的微分系数

即导数对定义式的描述：导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限用图像来表示就是该点的切线斜率第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日当然k有时随着x的变化也是变化的，呈现一种函数关系，我们称为导函数f（x）=x2yxf’（x）=2xyx求导第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日注意可导的条件导数在生活中的应用是非常多的速度问题增长率问题面积体积最值利润最值左导数=右导数第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日那么微分又是什么？宏观上来讲由y=f(x)求解导函数f‘（x）的过程称为微分，是对函数的局部变化率的一种线性描述f（x）=x2yxf’（x）=2xyx求导微分过程第11页，共15页，星期日，2025年，2月5日