第二章复变函数的导数.pptVIP

*第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.1复变函数的极限2.1.1复变函数极限的概念注意:uv(w)oAxy(z)o几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.1.2极限计算的定理与实变函数的极限运算法则类似.第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日例3:证(一)第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日根据定理一可知,证(二)第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日在扩充复平面上，可以定义以下广义极限例如的定义为的定义为例如：设，则由定义可以证明第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.2.1.复变函数连续的概念2.2函数的连续性例1：由上节我们知道所以cosz在z0处连续例2：证明函数sinz在整个复平面连续证明：设z=x+yi,z0=x0+y0i为复平面上的任一定点由于z0是复平面上的任一定点，故sinz在整个复平面上连续第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.2.2.复变函数连续的定理例3：讨论初等函数：secz,cscz,tanz,cotz,shz,chz的连续性。例4：讨论函数argz的连续性。例5：讨论函数Lnz的连续性。特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日例6：证复平面上有界闭区域R上连续的函数w=f(z),它的模|f(z)|在R上一定有界第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.3导数2.3.1导数的概念在定义中应注意:函数f(z)的导数定义为第11页，共27页，星期日，2025年，2月5日例1:解:例2:讨论函数f(z)=Im(z)的可导性解:第12页，共27页，星期日，2025年，2月5日例3:证明函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证：[证毕]第13页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.3.2导数的运算法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:第14页，共27页，星期日，2025年，2月5日第15页，共27页，星期日，2025年，2月5日证:必要性：2.3.3函数可导的必要与充分条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy有导数a+ib,这里a及b为实数，根据导数定义，第16页，共27页，星期日，2025年，2月5日充分性：第17页，共27页，星期日，2025年，2月5日[证毕]第18页，共27页，星期日，2025年，2月5日例5：判定下列函数在何处可导，若可导求其导数(1)f(z)=x2-y2+2ixy(2)f(z)=|z|(3)f(z)=ez(4)f(z)=sinz(5)f(z)=|z|22.3.4高阶导数我们把w=f(z)的导数叫做函数w=f(z)的一阶导数。类此地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶的导数，…，一般地，(n-1)导数的导数称为f(z)的n阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数第19页，共27页，星期日，2025年，2月5日