高等代数第一讲代数系统.pptVIP

高等代数第一讲代数系统1第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日

第一章代数系统：群，环，域;第二章多项式形式：带余除法;第一讲2第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日

代数系统GA013第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日

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IIPolynomialform§1-1基本概念与运算8第8页，共17页，星期日，2025年，2月5日

Degree次记degf=n域F上多项式形式全体记为F[X],系数为复数,实数和有理数分别记为C[X],R[X],Q[X].定理1:域F上X的多项式形式全体F[X]按如下运算(加法和乘法)成为交换环(称为多项式形式环).9第9页，共17页，星期日，2025年，2月5日

Proof:(1)F[X]对加法是Abel群,(2)F[X]对乘法是交换半群:(3)乘法对加法满足分配律.封闭性,结合律,有零元,有负元,有交换律.封闭性,结合律,交换律10第10页，共17页，星期日，2025年，2月5日

例如乘法结合律11第11页，共17页，星期日，2025年，2月5日

若fg=h(f,g,h,均为多项式)则有deg(fg)=degf+degg命题1:F[X]满足乘法消去律:对任f,g,hF[X],若fg=fh且f=0,则g=h.定义:有消去律的含幺交换环,称为整环.(Domain).故Z和F[X]均为整环.12第12页，共17页，星期日，2025年，2月5日

§1-2带余除法与整除性13第13页，共17页，星期日，2025年，2月5日

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有带余除法的环称为Euclid环.Z和F[X]均是.整除的简单性质:15第15页，共17页，星期日，2025年，2月5日

f(X)g(X)q(X)r(X)=16第16页，共17页，星期日，2025年，2月5日

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