第一讲微积分.pptVIP

第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日任课教师马连荣Email:lrma@math.tsinghua.edu.cnTel:(O)(M)办公地点：荷二楼213房间第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日微积分学教程数学分析习题集高等数学例题与习题集蔡大用等译参考书目第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日集合(set)常用的数集自然数集naturalnumber整数集integer有理数集rationalnumber实数集是实数};realnumber复数集complexnumber子集真子集空集区间(interval)邻域去心邻域第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日常用逻辑符号表示A蕴含B.A是B的充分条件.若A成立，则B成立.B是A的必要条件.表示A与B等价.A成立当且仅当B成立.A是B的充分必要条件.ForAll表示对于所有的x,P(x)都成立.表示对于所有的正数x,P(x)都成立.ThereExists表示存在x使得P(x)成立.表示能够找到正数x使得P(x)成立.的否定的否定第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日第1章函数函数的定义设X是一非空实数集。如果按照某种确定1.1函数概念函数用来描述变量变化过程中的相互依赖关系。关系f，对于每个，都有Y内唯一的实数y与其对应，则称f为定义在D上的一个函数(function)。为函数的值域(range)。用数学记号表示为：称X是函数的定义域(domain)，称注意：不一定是Y，可以是Y的真子集！例1.1.1定义域值域[-1，1].第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日例1.1.1定义域值域[-1，1].另一种表示方式:例1.1.2定义域值域[0，1].另一种表示方式:下面介绍几个有趣并且在今后会用到的函数。例1.1.3两种“取整”函数(1)符号表示小于或等于x的最大整数。，称为地板(floor)函数，或者下取整函数。(2)符号表示大于或等于x的最小整数。是定义在上的一个函数，值域为。也经常写成第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日例1.1.3两种“取整”函数(2)符号表示大于或等于x的最小整数。(ceiling)函数，或者上取整函数。是定义在上的一个函数，值域为，又称为天花板地板函数图像天花板函数图像例1.1.4符号函数定义域值域{-1，0，1}第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日例1.1.5Dirichlet函数定义域值域{0，1}例1.1.6Riemann函数定义域值域任意有理数都可以写成，其中，且例1.1.4图像最后介绍两个“不能作图”的函数。第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日1.2函数的初等性质1.2.1函数的奇偶性设函数定义在对称区间或上，若对于任意，则称是奇函数(oddfunction)。若对于任意，则称是偶函数(evenfunction)。例1.2.1都定义在对称区间I上。是奇函数;是奇函数,是偶函数，则是奇函数;是偶函数。是偶函数。对于任意第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日例1.2.2定义在上的奇函数和偶函数。分别是例1.2.3数。因为对