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2025年山西（专升本）高等数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在x=1处的导数为2，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：导数在某一点的几何意义即为曲线在该点切线的斜率。由题意知，f(1)=2，故曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为2。

2.设函数y=ln(x+e)，求y的值是（）

A.1/(x+1)

B.1/(x+e)

C.1/(xe)

D.e/(x+e)

答案：B

解析：由链式法则，y=(ln(x+e))=1/(x+e)(x+e)=1/(x+e)。

3.若函数f(x)满足f(x)0，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在定义域内单调递减

B.f(x)在定义域内单调递增

C.f(x)在定义域内先增后减

D.f(x)在定义域内先减后增

答案：B

解析：当导数f(x)0时，表示函数f(x)在定义域内单调递增。

4.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值点及极值是（）

A.极大值点x=1，极大值2；极小值点x=1，极小值2

B.极大值点x=1，极大值2；极小值点x=1，极小值2

C.极大值点x=2，极大值2；极小值点x=2，极小值2

D.极大值点x=2，极大值2；极小值点x=2，极小值2

答案：B

解析：首先求导f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。再求二阶导数f(x)=6x，f(1)0，故x=1为极小值点，f(1)=2为极小值；f(1)0，故x=1为极大值点，f(1)=2为极大值。

5.已知函数y=f(x)的图形与直线y=3x+1相切，且切点为(2,5)，求函数f(x)的解析式是（）

A.f(x)=x^2+1

B.f(x)=x^21

C.f(x)=x^2+3

D.f(x)=x^23

答案：C

解析：由题意知，f(2)=3。设f(x)=ax^2+bx+c，则f(x)=2ax+b。代入f(2)=3，得4a+b=3。又因为f(2)=5，代入得4a+2b+c=5。解得a=1/2，b=1，c=3。故f(x)=x^2+3。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=ln(x+e)在x=0处的导数是______。

答案：1

解析：由题意知，y=1/(x+e)。代入x=0，得y(0)=1。

7.设函数f(x)=e^x+sin(x)，求f(x)的值是______。

答案：e^x+cos(x)

解析：f(x)=e^x+cos(x)，f(x)=(e^x+cos(x))=e^xsin(x)。

8.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值点是______。

答案：x=±1

解析：令f(x)=3x^23=0，得x=±1。

9.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值是______。

答案：极大值2，极小值2

解析：f(1)=2为极小值，f(1)=2为极大值。

10.函数y=f(x)的图形与直线y=3x+1相切，且切点为(2,5)，则f(x)的解析式是______。

答案：f(x)=x^2+3

解析：设f(x)=ax^2+bx+c，代入切点(2,5)和f(2)=3，解得a=1/2，b=1，c=3。故f(x)=x^2+3。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数f(x)=x^33x+1的单调区间。

解：求导得f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0，故f(x)单调递增；当1x1时，f(x)0，故f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，故f(x)单调递增。所以，函数f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(1,+∞)，单调递减区间为(1,1)。

12.（本题10分）已知函数y=f(x)的图形与直线y=3x+1相切，且切点为(2,5)，求函数f(x)的解析式。

解：设f(x)=ax^2+bx+c。由题意知，f(2)=3。代入f(x)=2ax+b，得4a+b=3。又因为f(2)=5，代入得4a+2b+c=5。解得a=1/2，b=1，c=3。故f(x)=x^2+3。

13.（本题15分）求函数f(x)=e^x+sin(x)的一阶导数和二阶导数。

解：f(x