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专题05平方根和立方根的求值问题（解析版）
第一部分典例剖析+针对练习
类型一利用开方求值
典例1（2022春?青羊区校级月考）求下列各式的值：
（1）±169
（2）?64
（3）49144
（4）(?4)2
思路引领：根据开方运算，可得平方根、算术平方根．
解：（1）±169
（2）?64
（3）49144
（4）(?4)
总结提升：本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．
典例2求下列各式的值：
（1）364
（2）30.001
（3）3(?2
（4）?3
思路引领：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：（1）3
＝4；
（2）3
＝0.1；
（3）3
＝﹣2；
（4）?
＝﹣（﹣10）
＝10．
总结提升：本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
针对训练：
1．（2022春?灵宝市期中）求下列各式的值：
（1）364
（2）?9
（3）±0.49
（4）3?1
思路引领：分别根据立方根，算术平方根，平方根的定义求出即可．
解：（1）原式＝4；
（2）原式＝﹣3；
（3）原式＝±0.7；
（4）原式＝﹣1．
总结提升：本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，能熟记定义是解此题的关键．
类型二利用开方求未知数的值
典例3（2022春?岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100；
（2）（x+1）2＝81．
思路引领：（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；
（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．
解：（1）169x2＝100，
x2
x=±100
∴x=±10
（2）（x+1）2＝81，
x+1=±81
x+1＝±9，
x＝8或﹣10．
总结提升：本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
典例4（2022秋?南京期末）求下列各式中x的值：
（1）13（x+2）3
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．
思路引领：根据立方根的定义即可求解．
（2）两边都乘以3得，
（x+2）3＝﹣27，
由立方根的定义可得，
x+2＝﹣3，
解得x＝﹣5．
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0，
（2x﹣1）3＝27，
2x﹣1＝3，
2x＝4，
x＝2．
总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
针对训练
1．（2022秋?江阴市校级月考）求下列各式中x的值：
（1）48﹣3（x﹣2）2＝0．
（2）27（x+1）3+1＝0．
思路引领：（1）根据平方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解．
解：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0，
﹣3（x﹣2）2＝﹣48，
（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
x＝6或﹣2；
（2）27（x+1）3+1＝0，
27（x+1）3＝﹣1，
（x+1）3=?1
x+1=?1
x=?4
总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
类型三利用开方的定义解题
典例5（2022秋?宁德期末）已知：2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，求a﹣b的值．
思路引领：首先根据算术平方根和立方根的定义可得：2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，两式相减可得结论．
解：∵2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，
∴2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，
②﹣①得：2a﹣2b＝﹣8，
∴a﹣b＝﹣4．
总结提升：此题主要考查了立方根的含义和求法，算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
典例6（2022秋?永年区期中）已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
思路引领：（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；
（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．
解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，
∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；
∴4a+2b﹣1可化为19+2b，
∵4a+2b﹣1的立方根是3，
∴19+2b＝27，解得b＝4．
（2）∵a＝5，b＝4，
∴a+b＝5+4＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
总结提升：本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
典例7（2022春?东莞市期中）已知实数x、y满足2x?3y?1+|x?2y+2|=0
（1）求x+y的值．
（2）求x+8
（3）求3x?8
思路引领：（1）根据非负数的性质列出方程求出x、y的值；
（2）求出x+8
（3）求出3x?8
解：（1）由题意得，2x﹣3y﹣1＝0，x﹣2y+2＝0，
解得x＝8，y＝5，
∴x+y＝8+5＝13；
（2）x+85y=
16的平方
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