高等数学中函数微分概念及其应用分析.pdfVIP

一、问题的提出

实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

设边长由x变到x+x,x0x(x)2

00

xxx

正方形面积Ax2,0

0

22

A(x+x)−x

002x0

Ax

0xx

0

2xx+(x)2.

0

(1)(2)

:

(1)x的线性函数,且为A的主要部分;

:

(2)当x→0时,x的高阶无穷小,当x很小时可忽

略.

再例如,3

设函数yx在点x处的改变量

0

为x时,求函数的改变量y.

33

y(x+x)−x

00

223

3xx+3x(x)+(x).

00

(1)(2)

当x很小时,(2)是x的高阶无穷小o(x),

2既容易计算又是较好的近似值

y3xx.

0

问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否

所有函数的改变量都有?它?如何求?

二、微分的定义

定义设函数yf(x)在某区间内有定义,

x0及x0+x在这区间内,如果

yf(x+x)−f(x)Ax+o(x)

00

成立(其中A是与x无关的常数),o(x)是比x

高阶的无穷小量(当x→0时),则称函数

yf(x)在点x0可微,并且称Ax为函数

yf(x)在点x0相应于自变量增量x的微分,

记作dyxx或dfxx0,即dyxx0Ax.