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江苏数学竞赛题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若函数$f(x)=x^2+bx+c$对任意实数$x$都有$f(2+x)=f(2-x)$，则$f(1),f(2),f(4)$的大小关系为（）

A.$f(1)\ltf(2)\ltf(4)$

B.$f(2)\ltf(1)\ltf(4)$

C.$f(4)\ltf(2)\ltf(1)$

D.$f(4)\ltf(1)\ltf(2)$

答案：B

解析：由$f(2+x)=f(2-x)$可知函数$f(x)$的图象关于直线$x=2$对称，且二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，所以$f(2)\ltf(1)\ltf(4)$。

2.已知集合$A=\{x|x^2-3x-10\leq0\}$，$B=\{x|p+1\leqx\leq2p-1\}$，若$A\capB=B$，则实数$p$的取值范围是（）

A.$p\geq2$

B.$2\leqp\leq3$

C.$p\leq3$

D.$p\geq-3$

答案：C

解析：解不等式$x^2-3x-10\leq0$得$-2\leqx\leq5$，即$A=\{x|-2\leqx\leq5\}$。因为$A\capB=B$，所以$B\subseteqA$。当$B=\varnothing$时，$p+1\gt2p-1$，解得$p\lt2$；当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}p+1\leq2p-1\\p+1\geq-2\\2p-1\leq5\end{cases}$，解得$2\leqp\leq3$。综上，$p\leq3$。

3.设$a,b\inR$，且$a\gtb$，则下列不等式中恒成立的是（）

A.$a^2\gtb^2$

B.$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$

C.$lg(a-b)\gt0$

D.$2^a\gt2^b$

答案：D

解析：指数函数$y=2^x$是增函数，因为$a\gtb$，所以$2^a\gt2^b$。A选项当$0\gta\gtb$时不成立；B选项当$a\gt0\gtb$时不成立；C选项当$0\lta-b\lt1$时不成立。

4.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\tan\alpha$的值为（）

A.$\frac{3}{4}$

B.$-\frac{3}{4}$

C.$\frac{4}{3}$

D.$-\frac{4}{3}$

答案：B

解析：因为$\alpha$是第二象限角，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，根据$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，可得$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$，则$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}$。

5.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，其前$n$项和为$S_n$，若$a_3=6$，$S_3=12$，则公差$d$等于（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

答案：B

解析：由$S_3=12$可得$\frac{3(a_1+a_3)}{2}=12$，又$a_3=6$，则$a_1=2$，再根据$a_3=a_1+2d=6$，$a_1=2$，解得$d=2$。

6.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象可由函数$y=\sin2x$的图象经过下列哪种变换得到（）

A.向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度

B.向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度

C.向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

D.向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

答案：C

解析：对于函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})=\sin2(x+\frac{\pi}{6})$，所以是由函数$y=\sin2x$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到。

7.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,m)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则实数$m$的值为（）

A.$-1$

B.$-4$

C.$1$

D.$4$

答案：B

解析：两向量平行，对应坐标成比例