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七年级数学分式应用题训练集

亲爱的同学们，分式方程是初中数学学习中的一个重要里程碑，它将我们从整式的世界带入了更为广阔的分式领域。而分式应用题，则是检验我们能否运用这一新知识解决实际问题的试金石。它不仅考察我们的计算能力，更考验我们分析问题、抽象概括以及建立数学模型的能力。本训练集旨在帮助大家系统梳理分式应用题的常见类型，掌握解题技巧，提升解决实际问题的信心与能力。

一、分式应用题解题策略概览

在着手解决分式应用题之前，我们先来回顾一下解答这类问题的通用步骤与核心策略，这将帮助我们更有条理地应对各种挑战：

1.审题与理解：这是解题的基础。仔细阅读题目，找出已知条件、未知量以及题目所描述的实际情境和数量关系。圈点关键词，明确问题的核心是什么。

2.设元：选择一个合适的未知量设为未知数，通常用`x`表示。设元时要明确所设未知数的实际意义，并注意单位。有时为了方便，也可以设间接未知数。

3.找等量关系：根据题目中的数量关系，特别是那些能够表示“相等”、“是几倍”、“多多少”、“少多少”、“几分之几”等含义的语句，列出等量关系式。这是列方程的关键。

4.列分式方程：根据找到的等量关系，将文字语言转化为数学符号语言，列出分式方程。注意方程两边的代数式所表示的意义必须一致，单位也要统一。

5.解方程：按照分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再求解整式方程。

6.检验与作答：解出整式方程的解后，务必进行双重检验：

*代入原分式方程：检验是否为增根（即使得原方程分母为零的根）。

*代入实际问题：检验解是否符合实际意义（如时间不能为负，人数不能为分数等）。

最后，根据检验结果，写出符合题意的答案。

二、专项训练与典型例题

(一)工程问题

工程问题的核心等量关系通常是：

*工作总量=工作效率×工作时间

*各部分工作量之和=总工作量(通常将总工作量看作单位“1”)

例1：一项工程，甲单独做需要`a`天完成，乙单独做需要`b`天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天完成这项工程？

（*请同学们思考：若题目给出具体的`a`和`b`的值，如甲单独做需10天，乙单独做需15天，如何求解？*）

解题思路与解答：

设总工作量为单位“1”。

甲的工作效率为每天完成`1/a`，乙的工作效率为每天完成`1/b`。

两人合作的工作效率为`1/a+1/b`。

设合作需要`x`天完成，则有方程：`(1/a+1/b)x=1`。

解得：`x=1/(1/a+1/b)=ab/(a+b)`。

*针对括号内具体数值的情况：*

设总工作量为单位“1”。

甲的工作效率为`1/10`，乙的工作效率为`1/15`。

设合作需要`x`天完成，则：`(1/10+1/15)x=1`

通分计算：`(3/30+2/30)x=1`→`(5/30)x=1`→`(1/6)x=1`→`x=6`。

经检验，`x=6`是原方程的解，且符合实际意义。

答：甲、乙两人合作需要6天完成这项工程。

例2：某车间接到一批加工任务，原计划由12名工人，每天工作8小时，15天可以完成。开工前，根据进度要求，需要提前5天完成。如果每名工人的工作效率不变，需要增加多少名工人？

解题思路与解答：

分析：这里的“工作总量”可以看作是“12名工人×8小时/天×15天”所能完成的工作量。

设每名工人每小时的工作量为1份（此设元可不写在答题过程中，仅为理解）。

总工作量为：`12×8×15`份。

现在需要提前5天完成，即工作时间为`15-5=10`天。每天工作时间仍为8小时。

设需要增加`x`名工人，则现在的工人数为`12+x`名。

根据总工作量不变，可列出方程：`(12+x)×8×10=12×8×15`

（注意：此方程虽是整式方程，但题目情境属于工程问题范畴，且为后续更复杂的工程分式问题做铺垫）

化简方程：`(12+x)×10=12×15`→`120+10x=180`→`10x=60`→`x=6`。

经检验，`x=6`符合题意。

答：需要增加6名工人。

练习1：一项工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成。现在甲先做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时完成？

(二)行程问题

行程问题的核心等量关系是：

*路程=速度×时间

常见类型：相遇问题、追及问题、顺逆流（风）问题。

例3：A、B两地相距180千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车的速度是乙车速度的`3/2`倍，经过