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上海市2019年初中数学考试真题解析

一、试卷整体概览

2019年上海市初中数学中考试卷，一如既往地保持了上海中考数学的鲜明特点：注重基础，强调能力，引领教学。试卷结构稳定，难度梯度设置合理，既全面考查了学生的基础知识和基本技能，又有效区分了不同层次学生的数学素养和思维能力。整体而言，试卷在延续以往风格的基础上，更加强调数学思想方法的渗透与应用，以及数学与生活实际的联系，对于引导初中数学教学回归本质、培养学生核心素养具有积极意义。

二、典型题型深度解析

（一）选择题：立足基础，凸显概念辨析

选择题部分通常注重对基本概念、基本运算和基本技能的考查，题目难度不大，但往往在细节处设置“陷阱”，以检验学生对知识掌握的扎实程度和审题的细致程度。

例1：（考查实数的基本概念）

*题目概述：下列实数中，属于无理数的是（）

*A....(某个有理数)

*B....(某个带根号的开不尽方的数)

*C....(某个分数)

*D....(某个有限小数)

*考查要点：无理数的定义（无限不循环小数），以及与有理数（整数、分数，即有限小数和无限循环小数）的区别。

*思路解析：直接根据无理数的定义进行判断。选项A、C、D均可化为分数或有限小数，属于有理数；选项B是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，故为无理数。

*解答过程：（略，根据上述分析选择B）

*易错点提醒：学生容易将带根号的数一概视为无理数，需注意根号下的数是否为完全平方数。例如，若选项中出现√4，则其为有理数2。

例2：（考查函数基本性质）

*题目概述：下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）

*A....(一次函数，k0)

*B....(反比例函数，k0)

*C....(一次函数，k0)

*D....(二次函数，对称轴左侧)

*考查要点：一次函数、反比例函数、二次函数的单调性。

*思路解析：一次函数y=kx+b(k≠0)，当k0时，y随x增大而增大；当k0时，y随x增大而减小。反比例函数y=k/x(k≠0)，在每个象限内，当k0时，y随x增大而减小；当k0时，y随x增大而增大。二次函数的增减性则需结合开口方向和对称轴来判断。据此逐一分析选项即可。

*解答过程：（略，根据上述分析选择C）

*方法总结：对于基本函数的图像与性质，必须做到了然于胸，这是解决此类问题的关键。

（二）填空题：注重综合，考查知识运用

填空题同样强调基础知识的运用，但相较于选择题，有时会更侧重于知识的综合应用和简单的推理计算。

例3：（考查代数式化简与求值）

*题目概述：已知x2-3x+1=0，则代数式(x-1/x)2的值为_________。

*考查要点：完全平方公式的变形应用，整体代入思想。

*思路解析：直接求出x的值再代入计算会比较繁琐。观察已知条件x2-3x+1=0，若x≠0，两边同时除以x，可得x-3+1/x=0，即x+1/x=3。而所求代数式(x-1/x)2可以变形为(x+1/x)2-4。将x+1/x=3整体代入，即可求出结果。

*解答过程：

∵x2-3x+1=0，x≠0(若x=0，代入方程不成立)

∴两边同除以x得：x-3+1/x=0?x+1/x=3

∴(x-1/x)2=(x+1/x)2-4=32-4=9-4=5

*答案：5

*易错点提醒：容易忽略x≠0这个前提，以及对完全平方公式的灵活变形掌握不够熟练。

例4：（考查几何图形性质与计算）

*题目概述：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，则CD的长为_________。

*考查要点：勾股定理，直角三角形斜边中线的性质。

*思路解析：首先，在直角三角形中已知两直角边，可以通过勾股定理求出斜边AB的长度。然后，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要性质，即可求出CD的长度。

*解答过程：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4

∴AB=√(AC2+BC2)=√(32+42)=5

∵点D是AB的中点

∴CD=1/2AB=1/2×5=2.5(或写成分数形式5/2)

*答案：2.5(或5/2)

（三）解答题：分层递进，检验综合能力

解答题是试卷的主体部分，从基础运算、基本证明到综合应用，层层递进，全面考查学生的数学思维能力、逻辑推理能力和规范表达能力。

第一层次：基础解答题