1.4.2 充要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

1.4.2充要条件

二

问题1下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题

都是真命题?

(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形

全等；

逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的

边分别相等；

真命题

真命题

问题1下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题?

(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；真命题

逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；假命题

(3)若一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac0;

假命题

逆命题：若ac0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数

根；真命题

I

二

问题1下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题

都是真命题?

(4)若AUB是空集，则A与B均是空集.真命题

逆命题：若A与B均是空集，则AUB是空集真命题

命题真假

“若p,则q”为命题；“若q则p”为命题

推出关系

p__q

条件关系

p既是q的条件，也是q的条件，我们说p是

q的条件，简称为充要条件

三

2.充要条件

例3下列各题中，哪些p是q的充要条件?

(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；

(2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；

(3)p:xy0,q:x0,y0;

(4)p:x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0).

p与q的关系

结论

p→q,且q≠p

p是q的充分不必要条件

p≠q,且q→p

p是q的必要不充分条件

p=q,且q→p

p是q的充要条件

p≠q,且q≠p

p是q的既不充分也不必要条件

充要条件

探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗?

若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形

若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；若四边形的两条对边分别平行，则这个四边形是平行四边形。

1.下列各题中，哪些p是q的充要条件?

(1)p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；

(2)p:◎O内两条弦相等，q:◎0内两条弦所对的圆周角相等；

(3)p:A∩B为空集，q:A与B之一为空集.

2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.

例4已知：◎0的半径为r,圆心○到是直线l的距离为d,

求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.

证明：设p:d=r,q:直线l与◎O相切.

(1)充分性(p→q):如图，作OP⊥l于点P,则OP=d.

若d=r,则点P在◎O上.在直线l上任取一点Q(异于点P),

连接OQ.在Rt△OPQ中，0QOP=r.所以，除点P外直线

l上的点都在⊙O的外部，即直线l与◎0仅有一个公共

点P.所以直线l与◎O相切.

(2)必要性(q=p):若直线l与◎O相切，不妨设切点为P,则OP⊥l.因此，d=OP=r.

由(1)(2)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.

三

3、证明：如图，AC=BD是梯形ABCD为等腰梯形的充要条件。

BC

2.在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充

条件”“既不充分又不必要条件”回答):

(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形；

(2)p:一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根，q:b²—4ac≥0;

(3)p:a∈P∩Q,q:a∈P;

(4)p:a∈PUQ,q:a∈P;

(5)p:xy,q:x²y².

3.判断下列命题的真假：

(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在◎0外的充要条件；

(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；

(3)AUB=A是BSA的必要不充分条件；

(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条