2026《高考数学一轮复习微专题106讲》106. 回归分析与独立性检验.docxVIP

106.线性回归分析与独立性检验

一．基本原理

一．相关性检验

1.相关系数：

2.相关系数r的性质

（1）当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．

（2）样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

二．线性回归与最小二乘法

1回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征

2我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计，其中

3残差的概念

对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．

4刻画回归效果的方式

（i）残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．

（ii）残差平方和法：残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．

（iii）利用刻画回归效果：决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差．

三．独立性检验

1．2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为

y1

y2

合计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

合计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

2.独立性检验

（1）统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关

.

忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准．

（2）独立性检验

基于小概率值α的检验规则是：

当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；

当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．

这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(testofindependence)．

3.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤

（1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；

（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较；

（3）根据检验规则得出推断结论；

（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．

二．典例分析

例1.（2022年全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

样本号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总和

根部横截面积

0．04

0．06

0．04

0．08

0．08

0．05

0．05

0．07

0．07

0．06

0．6

材积量

0．25

0．40

0．22

0．54

0．51

0．34

0．36

0．46

0．42

0．40

3．9

并计算得，，．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数，．

解析：（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值，样本中10棵这种树木的材积量的平均值

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为

（2）

则

（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为

例2（2022年新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好

良好

病例组

60

对照组

10

90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病