2026《高考数学一轮复习微专题106讲》45.数学归纳法的原理与应用.docxVIP

45.数学归纳法的原理与应用

一．基本原理

1、数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明

2.第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立

（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立

（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立

3.第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立

（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立

（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立

二．典例分析

例1．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：

①，且；

②；

③，．

（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；

（2）若数列是数列，求；

（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．

解析：因为所以，因为所以所以数列，不可能是数列.

(2)性质①，由性质③，因此或，或，

若，由性质②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因为或，所以或.若，则，不满足，舍去.当，则前四项为:0，0，0，1，

下面用数学归纳法证明：

当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，

当时：

若，则，利用性质③：

，此时可得：；

否则，若，取可得：，而由性质②可得：，与矛盾.同理可得：

，有；

，有；

，又因为，有

即当时命题成立，证毕.综上可得：，.

(3)令，由性质③可知：，

由于，

因此数列为数列.由（2）可知:若；

，，

因此，此时，，满足题意.

（2015年湖北省高考题）已知数列的各项均为正数，，

e为自然对数的底数．

（1）求函数的单调区间，并比较与e的大小；

（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（3）令，数列，的前项和分别记为,,证明：．

解析：（1）的定义域为，．当，即时，单调递增；当，即时，单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，即．令，得，即．①

（2）；；

．由此推测：．②

下面用数学归纳法证明②．当时，左边右边，②成立．

假设当时，②成立，即．当时，，由归纳假设可得．

所以当时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．

（3）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得

，即

．

例3.（2014年安徽省高考真题）设实数，整数

（1）证明：当且时，

（2）数列满足，求证：

解析：（1）用数学归纳法证明：当时，，原不等式成立，假设时，不等式成立，即，则时，

，所以时，不等式成立，时，.

（2）用数学归纳法证明，当时，，假设，命题成立，即，则时，

由（1）可得：

即，时，命题成立，时，

下面证明：，考虑

，

例4.将数列从首项开始从左到右依次排列，得到数组，，，…，，然后执行以下操作：将移到右侧，然后剔除，再将移到右侧，然后剔除，继续以上操作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数．若令此操作为，则，且确定的值可确定的值，如，，．

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）若，证明：．

解析：（1）不妨令，根据题意，把数列，经过次操作后，变成，即第项为，所以.

（2）当时，成立，假设成立，即，

当时，可得，综上可得，对于，都有.

（3）若时，结论显然成立，假设结论对成立，现在考虑实数，若为偶数，则，结论成立；若为奇数，则，经过次操作变成，再经过次操作，变成，这里由有个数，第位是，所以，所以，结论对于成立，

综上可得，当时，成立．

例5．（2024年河北唐山高三二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．

（1）求；

（2）当时，，求；当时，解释上述递推关系