2026《高考数学一轮复习微专题106讲》81.抛物线焦半径及应用.docxVIP

81.抛物线的焦半径与焦点弦必知的八组结论

抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！

一．重要结论

抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:

假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为

.

性质1.,.

证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.

性质2.抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.

证明：，则的方程为，整理可得：

，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.

一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么

.

于是，若恒过定点.

性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则

（1）.

（2）.

证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.

所以，，故．

同理，所以．

性质4.抛物线的通径

(1).通径长为.

(2).焦点弦中，通径最短.

(3).通径越长，抛物线开口越大.

由性质3易得，略.

性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.

证明：设坐标为，由抛物线定义：，

故.

性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.

证明：设焦点弦的中点为，则到准线的距离为，由性质5可证得.

性质7.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为，则

（1）；

（2）记的面积分别为,,，.

注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.

二．典例分析

例1.（2017年全国1卷）.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为()

A．16 B．14 C．12 D．10

解析：法1:设,,直线方程为

取方程,得∴

同理直线与抛物线的交点满足

由抛物线定义可知

当且仅当(或)时,取得等号．

法2:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有:

．

故选A．

法4:设点,则

设直线的方程为

联立直线与抛物线方程消去可得

所以,所以

同理，所以(当且仅当时等号成立)

法5：可设直线，由抛物线焦点弦的性质3可得：

，故，当且仅当时取到最小值，故选A.

上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.

例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的

直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则直线

的斜率为

A．直线AB的斜率为2 B．

C． D．

解析：选项A：设中点为，则所以所以故

选项B：所以所以

选项C：

选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；

又所以为钝角；

所以.故选ACD.

例3．（2023新高考2卷）．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．

A．

B．

C．以MN为直径的圆与l相切

D．为等腰三角形

解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，

所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.

B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.

或

C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.

D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

??

例4．（湖北省武汉市2025届高三二月调考）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（????）

A．4 B．3 C． D．

解析：（方法1）抛物线的焦点，设直线，点，

由消去得，则，

，即，

，

，则，因此，

所以.故选：A

（方法2）设直线的倾斜角为，由于

所以.故选：A

例5.已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（????）

A．时，

B．时，的最小值为9

C．时，

D．时，的最小值为8

解析：当时，，此时不妨取过焦点垂直于x轴，

不妨取，则，故A错误；

当时，，此时不妨设在抛物线上逆时针排列，设,则，则，故，

令，则，

令，则???，

当