2026《高考数学一轮复习微专题106讲》26.隐零点问题的常见技巧.docxVIP

隐零点代换与估计

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.高考中曾多次考察隐零点代换与估计，所以本节我们做一个专门的分析与讨论.

一．基本原理

第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程或者，并结合的单调性得到零点的范围；

第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；

第3步：将零点方程或者适当变形，整体代入最值式子进行化简或者含零点的式子中，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计.下面我们通过实例来分析.

二．典例分析

★1.隐零点代换

例1.（四川省成都市2025届高三三诊）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，为的导函数．

（i）求实数的取值范围；

（ii）记较小的一个零点为．证明：．

解析：（1）

当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增．

（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点；若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．因为当时，；当时，，所以函数有两个零点当且仅当．

设，函数在单调递增．因为的解集为．综上所述，的取值范围是．

（ii）因为，由，结合（i）知，

要证，即证，即，

当时，因为，不等式恒成立；当时，由得．即证．

即证．

即证．设，由

，所以在单调递增．

所以，故原不等式成立．所以．

例2.（2020新高考1卷）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

（2）若，求的取值范围.

解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.

（2）由于,，且.设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此

,故恒成立；

当时，∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.

点评：（1）例1告诉我们，隐零点代换的第一个方向是利用隐零点代换掉参数，从而得到不含参数的表达式来解决；

（2）例2告诉我们，处理隐零点的策略是代换掉指对项，从而消掉式子中比较复杂的函数部分，将最终的目标结构代换成简单的多项式或者分式形式等.

★2.隐零点同构

实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用：原理分析

例3.已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知

有两个零点有两个相异实根.令，则，

由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，

当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；

（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立

对一切恒成立.令?????

，，令，，则

，在上单增，又，

，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，

由①知，函数在单调递增，即，，

实数的取值范围为.

注：本题再次涉及隐零点同构，否则的话，很难找到隐零点具体的代换方向！

★3.隐零点的估计.

例4.（2017新课标2卷）已知函数，且．

（1）求；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且QUOTEe-2f(x0)2

习题2.解析：（1）．

（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．

由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．

三．习题演练

1.（湖北省武汉市2025届高三二月调考）已知函数．

（1）若在处的切线斜率为，求；

（2）若恒成立，求的取值范围．

2．（福建省厦门市2025届高三二模）已知函数.

（1）当时，求的极小值；

（2）若存在唯一极值点，证明：.

3.（2016年全国2卷）

（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；

（2）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

4.已知函数.

（1）当，讨论的单调性；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

参考答案

1.解析：（1）因为，所以，依题意，解得；

（2）因为的定义域为，又，所以恒成立，

令，，则，

令，，则，所以在上单调递增