八年级数学（北师大版）寒假提升-第06讲 角平分线（解析版）.docxVIP

第06讲角平分线

思维导图

核心考点聚焦

1.角平分线的性质定理

2.角平分线的判定定理

3.角平分线性质的实际应用

4.作角平分线（尺规作图）

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线.

3.三角形的三条角平分线交点：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

4.运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：

（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；

（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；

（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直.

5.尺规作图画角平分线（题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法）

（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

（2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

（3）过点P作射线OP，射线OP即为所求.

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

考点剖析

考点一、角平分线的性质定理

例题：如图，平分，交的延长线于点E，且．

(1)求证：；

(2)若，，求线段的长度．

【解析】（1）证明：过点D作于点F，

∵平分，，，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴，

∵

∴；

（2）设，

∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得，

即．

【变式训练】

1．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．

(1)求的度数；

(2)如果，，求四边形的周长．

【解析】（1），且，

，

，

是的角平分线，，

，,

．

（2）是的角平分线，且，，，

在和中，，

，

，，

，，

四边形的周长为：．

2．如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若．

(1)求证：是等边三角形；

(2)若，求线段的长．

【解析】（1）证明：∵点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D，

∴，

在与中，，

∴，∴，

∵，∴是等边三角形；

（2）∵是等边三角形，是的平分线，∴，

∵，∴，∴，

∵，，∴，

∴，∴．

考点二、角平分线的判定定理

例题：如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且．

(1)求证：平分；

(2)如果，，求的长．

【解析】（1）证明：由题意得：

，，

，

在和中，

，

，

，

，，

平分．

（2）在和中，

，

，

，

设，

，

，

，

，

，

．

【变式训练】

1．如图，于E，于F，若．

??

(1)求证：平分；

(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．

【解析】（1）证明：∵，，

∴，

∴与均为直角三角形，

∵在与中，

∵，

∴,

∴，

∴平分；

（2），理由如下：

∵，平分，

∴，

∵，

∴，

在与中，

∵，

∴，

∴，

∴．

2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

??

(1)求证：是的平分线；

(2)若，，．求的长．

【解析】（1）证明：在和中，

，

∴，∴，

∵于点D，于点E，

∴是的平分线

（2）∵平分，，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴

∵，∴．

考点三、角平分线性质的实际应用

例题：三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（????）

A．三条高的交点 B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点

【答案】C

【解析】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，

根据角平分线的性质，集贸市场应建在的角平分线的交点处，

故选C．

【变式训练】

1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（????）

??

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【解析】如图所示，

??

分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点，

故选．

考点四、作角平分线（尺规作图）

例题：已知：如图，在中，，．

??????

(1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)在（1）的条件下，求的角度？

【解析】（1）以点为圆