2025年（整理版）分式方程的解法及应用（提高）.pdfVIP

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼

分式方程的解法及应用〔提高〕

【学习目标】

1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．

2.会列出分式方程解简单的应用问题．

【要点梳理】

【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】

要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

要点诠释：〔1〕分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含

有未知数.

〔2〕分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数〔不是一般的

字母系数〕.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知

数的方程是整式方程.

〔3〕分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的根本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最

简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种

根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

〔1〕方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程〔注意：当分母是多项

式时，先分解因式，再找出最简公分母〕；

〔2〕解这个整式方程，求出整式方程的解；

〔3〕检验：将求得的解代入最简公分母，假设最简公分母不等于0，那么这个解是原

分式方程的解，假设最简公分母等于0，那么这个解不是原分式方程的解，原分式方程无

解.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式

子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无

义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：〔1〕增根是在解分式方程的第一步“去分母〞时产生的.根据方程的同解

原理，方程的两边都乘以〔或除以〕同一个不为0的数，所得方程是

原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与

原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

〔2〕解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方

程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程

中没有错误的前提下进行的.

要点四、分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题.

列分式方程解应用题按以下步骤进行：

〔2〕设未知数；

〔3〕找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

〔4〕解这个分式方程；

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

〔5〕验根，检验是否是增根；

〔6〕写出答案.

【典型例题】

类型一、判别分式方程

【高清课堂分式方程的解法及应用例1】

1、以下各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？

2x175x35

〔1〕〔2〕

3997y2