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高三数学函数基本概念复习题

函数，作为高中数学的核心内容，贯穿了代数、几何乃至后续的微积分学习。对于高三学子而言，一轮复习中对函数基本概念的透彻理解与熟练掌握，不仅是应对各类复杂题型的基石，更是构建完整数学知识体系的关键。本文旨在通过梳理函数的核心概念，并辅以针对性的复习题，帮助同学们查漏补缺，巩固提升，为后续的综合应用打下坚实基础。

一、函数的定义与核心要素：从“两个非空数集”说起

我们首先回归本源，重温函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。记作：y=f(x)，x∈A。

理解此定义，务必抓住以下几个核心要素：

1.定义域（Domain）：自变量x的取值范围，即集合A。这是函数的“源头”，任何函数问题的解决都必须首先考虑定义域。常见的限制条件如：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零等，需要同学们烂熟于心，并能综合应用。

2.对应法则（CorrespondenceRule）：即“f”，它是函数的核心，决定了输入x如何转化为输出y。可以是解析式、图像、表格或文字描述。理解对应法则的关键在于，对于定义域内的每一个x，是否有“唯一确定”的y与之对应。

3.值域（Range）：函数值的集合{f(x)|x∈A}，即集合B的子集。值域由定义域和对应法则共同决定。求值域是函数问题中的一个难点，需要结合函数的性质灵活处理。

思考题1（基础辨析）：

判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数，并说明理由。

(1)A=R，B=R，对应关系f：x→y=±√x；

(2)A={x|x是三角形}，B={x|x0}，对应关系f：对A中的三角形求面积与B中元素对应；

(3)A=Z，B=Z，对应关系f：x→y=x2。

（考察意图：深刻理解函数定义中“非空数集”、“任意一个”、“唯一确定”这几个关键词。）

二、函数的表示方法：多角度审视“对应”

函数的表示方法是沟通抽象定义与具体应用的桥梁，常见的有解析法、列表法和图像法。

1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这是我们最常用的方法，如y=2x+1，y=x2-3x+2等。理解解析式的结构特征，对后续研究函数性质至关重要。

2.列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，直观明了，适用于自变量取值较少或有特定规律的情况。

3.图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系，具有极强的直观性，能帮助我们快速把握函数的整体变化趋势和一些关键特征（如单调性、奇偶性、最值等）。“数形结合”思想的应用，往往始于对函数图像的深刻理解。

思考题2（表示方法与定义域值域）：

已知函数f(x)由下表给出：

|x|-1|0|1|2|

|f(x)|3|1|-1|-3|

(1)求f(0)，f(1)的值；

(2)写出函数f(x)的定义域和值域；

(3)若g(x)=f(x-1)，求g(2)的值。

（考察意图：熟悉列表法表示的函数，能从中提取信息，并理解简单的函数变换对自变量取值的影响。）

思考题3（解析法与定义域）：

求下列函数的定义域：

(1)f(x)=√(x+2)+1/(x-1)

(2)g(x)=log?(x2-4x+3)

(3)h(x)=√(sinx)（提示：结合三角函数的有界性）

（考察意图：掌握求函数定义域的基本方法，注意多个限制条件的交集，这是初学者最容易马虎的地方。）

三、函数的基本性质：单调性、奇偶性与周期性初探

函数的性质是描述函数行为的重要工具，也是高考考查的重点。

1.单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x?，x?，当x?x?时，都有f(x?)f(x?)（或f(x?)f(x?)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。单调性是函数的局部性质，描述的是函数在某个区间上的增减趋势。证明单调性的定义法（作差法或作商法）是必须掌握的基本功。

2.奇偶性：设函数f(x)的定义域为关于原点对称的集合，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；如果都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。奇偶性是函数的整体性质，其图像特征是：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。判断函数奇偶性，首先要检查定义域是否关于原点对称，这是前提。

3.周期性：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非