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2025年广西（统招专升本）高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2，则f(x)的零点个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：f(x)=3x^26x。令f(x)=0，得3x^26x=0，解得x=0或x=2。故f(x)的零点个数为2。

2.设函数y=ln(x^22x+2)，则y的极值点为（）

A.x=1

B.x=2

C.x=0

D.无极值点

答案：D

解析：y=2x/(x^22x+2)。因为x^22x+2=(x1)^2+10，所以y恒大于0，y无极值点。

3.设函数f(x)=x^2e^x，则f(x)的零点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x=(x^2+4x+2)e^x。令f(x)=0，得x^2+4x+2=0，解得x=2±√2。故f(x)的零点个数为2。

4.定积分∫(0to1)x^2e^xdx的值为（）

A.1

B.2

C.e

D.e^2

答案：C

解析：∫(0to1)x^2e^xdx=[x^2e^x2xe^x+2e^x]|(0to1)=e2+2=e。

5.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间[1,2]上的最大值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：D

解析：f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。比较f(1)，f(1)，f(2)的值，得f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)=2^33×2+1=3。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^22x+1在x=1处的切线方程为______。

答案：y=0

解析：f(x)=2x2，f(1)=0。所以切线方程为yf(1)=f(1)(x1)，即y=0。

2.定积分∫(0toπ)sinxdx的值为______。

答案：2

解析：∫(0toπ)sinxdx=[cosx]|(0toπ)=(1)(1)=2。

3.函数y=x^36x^2+9x+1的拐点坐标为______。

答案：(2,3)

解析：y=6x12。令y=0，得x=2。所以拐点坐标为(2,3)。

4.设函数f(x)=e^x+1，则f(x)的反函数f^(1)(x)=______。

答案：ln(x1)

解析：f(x)=e^x+1，所以f^(1)(x)=ln(x1)。

5.设函数f(x)=sin(x+1)，则f(π/2)=______。

答案：1

解析：f(x)=cos(x+1)，所以f(π/2)=cos(π/2+1)=1。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的单调区间。

答案：单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间为(∞,0)。

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x。令f(x)=0，得x=0。当x0时，f(x)0，f(x)单调递增；当x0时，f(x)0，f(x)单调递减。

2.计算定积分∫(0toπ/2)cos^3xdx。

答案：(π/4)

解析：∫(0toπ/2)cos^3xdx=(1/4)[sin^4x]|(0toπ/2)=(1/4)[10]=π/4。

3.求函数f(x)=x^33x^2+2在区间[2,2]上的最大值和最小值。

答案：最大值为8，最小值为0。

解析：f(x)=3x^26x。令f(x)=0，得x=0或x=2。比较f(2)，f(0)，f(2)的值，得f(x)在区间[2,2]上的最大值为8，最小值为0。