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2025年甘肃数学专升本考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=2x^33x^2+1在x=2处取得极值，则f(2)的值为（）

A.0

B.3

C.6

D.12

答案：A

解析：因为函数在x=2处取得极值，所以导数f(2)=0。

2.若函数y=x^22x+3在区间[1,3]上的最大值为8，最小值为2，则方程x^22x+3=k在区间[1,3]上有（）

A.0个实根

B.1个实根

C.2个实根

D.3个实根

答案：C

解析：因为函数在区间[1,3]上的最大值为8，最小值为2，所以方程x^22x+3=k在区间[1,3]上有2个实根。

3.线性方程组

\[

\begin{cases}

x+2yz=4\\

2xy+3z=6\\

x+y+2z=1

\end{cases}

\]

的解为（）

A.唯一解

B.无解

C.无穷多解

D.有解但解不唯一

答案：C

解析：将方程组写成增广矩阵，经过初等行变换，得到行简化阶梯形矩阵，发现方程组有无穷多解。

4.下列函数中，哪个函数是周期函数？（）

A.y=x^32x

B.y=sin(x)

C.y=x^23

D.y=e^x

答案：B

解析：正弦函数y=sin(x)是周期函数，周期为2π。

5.二项式展开式(x+2)^5中x^3的系数为（）

A.20

B.80

C.160

D.320

答案：B

解析：根据二项式定理，展开式中x^3的系数为C(5,2)2^2=104=80。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^36x+9的导数y为________。

答案：3x^26

7.线性方程组

\[

\begin{cases}

x+2y=3\\

2xy=1

\end{cases}

\]

的解为x=________，y=________。

答案：x=1，y=1

8.函数y=2e^x在x=0处的切线方程为________。

答案：y=2x+2

9.若函数y=x^24x+3的极小值为________。

答案：1

10.矩阵

\[

A=\begin{bmatrix}

12\\

34

\end{bmatrix}

\]

的行列式值为________。

答案：2

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数f(x)=x^33x^2+4在区间[2,4]上的最大值和最小值。

解析：首先求导数f(x)=3x^26x。令f(x)=0，得到x=0和x=2。计算f(2)=4，f(0)=4，f(2)=4，f(4)=4。所以，最大值为4，最小值为4。

12.（本题10分）解线性方程组

\[

\begin{cases}

x+2yz=4\\

2xy+3z=6\\

x+y+2z=1

\end{cases}

\]

解析：将方程组写成增广矩阵，经过初等行变换，得到行简化阶梯形矩阵，然后写出方程组的解。

13.（本题15分）证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在至少一个点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

解析：利用罗尔定理进行证明。

14.（本题15分）计算积分∫(0toπ)sin(x)dx。

解析：利用积分公式，计算得到∫(0toπ)sin(x)dx=cos(x)|_0^π=(1)(1)=2。