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2025年事业单位教师招聘数学学科专业知识试卷（函数题）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、填空题（每小题5分，共20分）

1.函数$f(x)=\sqrt{16-x^2}+\frac{1}{x-1}$的定义域是

2.若函数$f(x)=x^3-ax+1$是奇函数，则实数$a$的值为

3.函数$y=\log_3(2-x)+\lg(x+4)$的定义域是

4.函数$f(x)=2^x-1$的反函数是

二、解答题（共80分）

1.(10分)已知函数$f(x)=x^2-2ax+2$。

(1)若函数$f(x)$在区间$[1,3]$上单调递增，求实数$a$的取值范围；

(2)若函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称，求函数$f(x)$的最小值。

2.(12分)讨论函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$的奇偶性和单调性。

3.(12分)解函数方程$f(x+1)=f(x)+2x+3$，其中函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数。

4.(14分)设函数$f(x)=e^x-ax+1$，其中$e$为自然对数的底数。

(1)若函数$f(x)$在$x=0$处取得极值，求实数$a$的值；

(2)当$a=1$时，讨论函数$f(x)$的单调性；

(3)当$a0$时，证明：$f(x)0$对所有$x\in\mathbb{R}$恒成立。

5.(14分)某城市为了缓解交通压力，对市内公交车线路进行了调整。调整后，公交车从起点站出发，每行驶$1$公里，乘客需付费$a$元($0a1$)。此外，乘客还需缴纳$b$元($b\geq0$)的起始费用才能乘坐公交车。已知起点站到终点站的距离为$10$公里。

(1)写出乘坐该公交车所需费用$y$(元)与行驶距离$x$(公里)之间的函数关系式；

(2)若乘客乘坐$4$公里，需缴纳$4.2$元费用，乘客乘坐$8$公里，需缴纳$8.4$元费用，求乘坐该公交车的起始费用$b$和每公里费用$a$；

(3)试问：当$a$取何值时，该城市的居民乘坐该公交车的意愿会更高？请说明理由。

6.(18分)已知函数$f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$。

(1)求函数$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)$；

(2)设函数$g(x)=f^{-1}(x)-\lambdax-1$，其中$\lambda$为实数，若函数$g(x)$在区间$(1,+\infty)$上单调递减，求实数$\lambda$的取值范围；

(3)设函数$h(x)=f^{-1}(x)+ax-2$，其中$a$为实数，若存在$x_0\in(1,+\infty)$，使得$h(x_0)=0$，求实数$a$的取值范围。

试卷答案

一、填空题

1.$[-4,-1)\cup(1,4]$

2.1

3.$(-4,-1)$

4.$y=\log_2(x+1)$

二、解答题

1.解：

(1)函数$f(x)=x^2-2ax+2$的导数为$f(x)=2x-2a$。

由题意知，函数$f(x)$在区间$[1,3]$上单调递增，即$f(x)\geq0$对$x\in[1,3]$恒成立。

所以$2x-2a\geq0$对$x\in[1,3]$恒成立，即$a\leqx$对$x\in[1,3]$恒成立。

因此，$a\leq1$。

故实数$a$的取值范围是$(-\infty,1]$。

(2)函数$f(x)=x^2-2ax+2$的图像关于直线$x=1$对称，即$f(1-t)=f(1+t)$对任意$t\in\mathbb{R}$恒成立。

代入函数表达式得：$(1-t)^2-2a(1-t)+2=(1+t)^2-2a(1+t)+2$。

化简得：$-2at=2at$，对任意$t\in\mathbb{R}$恒成立，所以$a=0$。