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2025年统计学期末考试题库：统计与决策案例分析试题解析

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

某公司为了评估两种不同的营销策略（策略A和策略B）在提升产品销量方面的效果，随机选择了10个地区进行实验。每个地区都同时采用了策略A和策略B进行推广，并记录了在一段时间内（例如一个月）每个地区采用两种策略后的产品销量（单位：件）。以下是10个地区的销量数据：

|地区|策略A销量|策略B销量|

|---|---|---|

|1|120|135|

|2|150|160|

|3|100|105|

|4|180|190|

|5|90|100|

|6|160|175|

|7|140|150|

|8|110|115|

|9|170|180|

|10|130|145|

公司管理层希望了解两种策略在统计学上是否存在显著差异，并基于数据分析结果决定未来应主要采用哪种营销策略。

请根据上述背景信息，回答以下问题：

1.简述你将如何运用统计方法来检验两种营销策略在销量上是否存在显著差异。说明选择该方法的原因。

2.假设你已使用适当的统计方法分析了数据，并得到了策略A与策略B销量之差的样本均值（$\bar{D}$）、样本标准差（$s_D$）以及样本量（n=10）。请说明如何根据这些信息构建一个置信度为95%的置信区间，用于估计两种策略销量之差的总体均值。写出计算公式，并解释置信区间的含义。

3.假定分析结果显示，在95%的置信水平下，两种策略销量之差的置信区间为（-5,15）。请解释这个结果对公司管理层决策的启示。

4.除了销量数据，公司管理层还考虑了每个地区的市场潜力作为一个潜在的影响因素。假设你获得了每个地区市场潜力的评分数据（评分范围为1到10），并与销量数据一起进行了相关性分析。分析结果显示策略A销量与市场潜力评分的相关系数为0.75，策略B销量与市场潜力评分的相关系数为0.80。请解释这两个相关系数的数值意味着什么，并讨论在评估营销策略效果时，考虑市场潜力因素的重要性。

二、

某连锁超市为了优化其商品布局，希望了解顾客在购买商品时是否倾向于一次性购买多种商品。为此，超市随机抽取了100名正在结账的顾客，记录了他们购买商品的种类数量。假设这些数据近似服从正态分布，且已知该样本中顾客购买商品的平均种类数量为4.5种，标准差为1.2种。

请回答以下问题：

1.为了检验顾客购买商品的平均种类数量是否显著高于某个基准值（例如3种），请写出相应的原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$）。

2.假设你选择显著性水平$\alpha=0.05$来进行检验。请解释什么是显著性水平$\alpha$，并说明如果计算得到的p值小于$\alpha$，你将做出怎样的统计决策。

3.计算检验的统计量（例如Z统计量）的值。写出计算公式，并说明该统计量的分布。

4.假设计算得到的p值为0.035。请根据显著性水平$\alpha=0.05$，做出统计决策，并解释你的决策依据。同时，请说明该决策在统计学上意味着什么。

三、

一家制药公司研发了一种新药，希望评估其相对于现有标准药物在降低患者血压方面的效果。研究人员将符合条件的患者随机分为两组：实验组（n=30）服用新药，对照组（n=30）服用标准药物。经过一段时间治疗后，记录了两组患者的收缩压变化量（单位：mmHg，负值表示血压下降）。假设两组患者的收缩压变化量数据均近似服从正态分布，且两组数据的方差相等。

实验组患者的平均收缩压变化量为-15mmHg，标准差为4mmHg；对照组患者的平均收缩压变化量为-10mmHg，标准差为5mmHg。

请回答以下问题：

1.简述你将如何运用统计方法来检验新药在降低血压效果上是否显著优于标准药物。说明选择该方法的原因。

2.写出检验的统计量（例如t统计量）的计算公式。说明该统计量服从什么分布，并解释其分子和分母的含义。

3.假设计算得到的t统计量的值为-3.8。请解释这个数值的含义。

4.假设检验的显著性水平为$\alpha=0.01$。请查阅t分布表（或使用计算工具），确定检验的临界值（假设是双侧检验）。根据计算得到的t统计量和临界值，做出统计决策，并解释你的决策依据。

四、

某汽车制造商关心其生产的两款汽车（车型A和车型B）的燃油效率。他们随机抽取了15辆车型A汽车和12辆车型B汽车，在相同条件下进行测试，记录了每辆汽车的燃油效率（单位：mpg，即每加仑汽油行驶的英里数）。假设这两款汽车的燃油效率数据均服从正态分布，且方差相等但未知。

测试结果显示，车型A汽车燃油效率的