中考数学几何与代数综合应用训练题.docxVIP

中考数学几何与代数综合应用训练题

在中考数学的试卷中，几何与代数的综合应用题占据着举足轻重的地位。这类题目不仅考查学生对几何图形性质的掌握，更考验其运用代数方法解决几何问题的能力，是对学生综合素养的全面检测。解决此类问题，需要学生具备扎实的基础知识、清晰的逻辑思维以及灵活的转化能力，能将几何图形的直观性与代数运算的精确性有机结合。本文将通过若干典型例题的剖析与训练，帮助同学们梳理解题思路，提升综合应用能力。

一、核心考查点与思想方法

几何与代数的综合应用，其核心在于“数形结合”。常见的考查方向包括：

1.方程思想的应用：利用几何图形的性质（如勾股定理、相似比、面积公式等）建立关于未知量的方程或方程组，求解线段长度、角度大小、图形面积等。

2.函数思想的应用：根据几何图形的变化（如动点问题、图形变换），引入变量，建立函数关系，研究图形的性质随变量变化的规律，或解决最值问题。

3.几何图形性质与代数运算的转化：将几何中的位置关系（平行、垂直、相切等）转化为代数中的数量关系（斜率关系、距离公式、方程的解等），反之亦然。

4.动态几何问题：涉及点动、线动、形动，需要学生在运动变化中寻找不变的量或关系，常结合分类讨论思想。

二、典型例题与解题策略

（一）利用方程思想解决几何计算问题

例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0t4）。

（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度。

（2）设△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式。

（3）在P、Q运动过程中，线段PQ的长度能否等于2√5cm？若能，求出t的值；若不能，说明理由。

思路点拨：

（1）此问较为基础，根据路程=速度×时间，结合已知线段长度即可表示。AP=tcm，故PC=AC-AP=(6-t)cm；CQ=2tcm。

（2）△PCQ是直角三角形（∠C=90°），其面积S=1/2×PC×CQ。将（1）中表示的PC和CQ代入，即可得到S关于t的函数关系式。

（3）PQ的长度可以通过勾股定理表示为√(PC2+CQ2)。令其等于2√5，得到关于t的方程，解方程并根据t的取值范围（0t4）判断解的合理性。

解答过程：

（1）由题意得：AP=tcm，CQ=2tcm。

∵AC=6cm，∴PC=AC-AP=(6-t)cm。

（2）∵∠C=90°，PC=(6-t)cm，CQ=2tcm，

∴S=1/2×PC×CQ=1/2×(6-t)×2t=(6-t)t=-t2+6t。

即S与t之间的函数关系式为S=-t2+6t（0t4）。

（3）能。理由如下：

在Rt△PCQ中，PQ2=PC2+CQ2=(6-t)2+(2t)2。

若PQ=2√5cm，则PQ2=(2√5)2=20。

∴(6-t)2+(2t)2=20。

展开得：36-12t+t2+4t2=20。

合并同类项得：5t2-12t+16=0。

判别式△=(-12)2-4×5×16=144-320=-1760。

（此处原方程整理有误，应为5t2-12t+16=0吗？重新计算：

(6-t)2+(2t)2=36-12t+t2+4t2=5t2-12t+36。令其等于20，则5t2-12t+36=20→5t2-12t+16=0。判别式△=144-320=-1760。哦，确实无解。看来之前的“能”是错误的预判。）

∵判别式△=-1760，∴此方程无实数根。

∴在P、Q运动过程中，线段PQ的长度不能等于2√5cm。

（二）函数与几何图形的动态综合

例题2：如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B。点C是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点C分别作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E。

（1）直接写出点A、点B的坐标。

（2）设矩形CDOE的面积为S，点C的横坐标为m，求S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值。

（3）在点C运动的过程中，△AOD与△BOE能否相似？若能，求出此时点C的坐标；若不能，请说明理由。

思路点拨：

（1）对于直线y=-x+6，令y=0可求得点A的横坐标，令x=0可求得点B的纵坐标。

（2）点C在直线AB上，其横坐标为m，则可代入直线方