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浙江省宁波中学2025-2026学年高二上学期科技月数学竞赛试卷
一、单选题:本题共4小题,每小题6分,共24分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆0:x2+y2=9,则“点Ma,b在圆0外”
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“勾股圆方图”,后人称其为“赵爽弦图”,类比赵爽弦图,用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC,若EF=2,cos∠ACF
A.494B.4934C.
3.若平面向量a、b、c满足a-
A.最大值32B.最小值32C.最大值-32
4.对?x∈[1,+∞),不等式lnax2-
A.若a∈0,1e,则b≤eB.若
C.若a∈1e,e,则ab=ee
二、多选题:本题共3小题,共24分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得8分,
部分选对的得4分,有选错的得0分。
5.已知函数fx=a-2sinx
A.fx的最小正周期为
B.fx的图象关于直线x=
C.?
D.?a∈1,3,
6.国家知识产权局信息显示,华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利,该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量,降低电路的功耗,提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数,以-1,0,1为基本数码的计数体系(对称三进制):三进制数akak-1?a0.b1b2?bt3对应的十进制数为ak?3k+ak
A.10F1
B.101010
C.若n=0.b1
D.存在唯一的a1,a2,a3,
7.已知定义域是R的函数fx不恒为0,满足fx+y=fxfy-
A.fk=
B.f0
C.x≠k是函数f
D.f
三、填空题:本题共6小题,每小题8分,共48分。
8.不等式9x-8x
9.已知直线l过点M1,2,若它被两平行直线4x+3y+1=0与4x+3y+
10.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),记“两次向上的数字之和等于m为事件A,则PA最大时,
11.已知函数y=x2+3x+1与y=1x的图象交于不同的三点A,B,C,同一平面上的点P
12.若复数z满足z2-1=z,则
13.设S={1,2,?100}.若S的一个三元子集A={a,b,c}满足a+b
四、解答题:本题共5小题,共104分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
14.(本小题17分)
在三棱锥P-ABC中,侧面PAC是边长为2的等边三角形,
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC
(2)求平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值.
15.(本小题17分)
定义函数f
(1)如果fx的图像关于x=2对称,求
(2)若x∈-1,1,记fx的最大值为Mb,c,当
16.(本小题20分)
在△ABC中,∠C=max{∠A
(1)求C:
(2)求△ABC周长的最小值
17.(本小题25分)
已知椭圆C:y2a2+x2b2=1ab
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:
18.(本小题25分)
n是一个正整数,对正整数m可以进行如下n操作:将m替换为m-1,m-2,m-n三个数之一。初始正整数记为
(1)已知存在正整数n及k个连续正整数组成的集合T,对任意初始正整数M∈T,甲有必胜策略,求
(2)将kmax记为k0,有多少个正整数n,3≤n≤2025,使得存在由k0个连续正整数组成的集合T,
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