备战2026年深圳数学中考3年真题及模拟分类汇编 专题16 解答压轴题型：函数综合题（解析版）.docxVIP

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备战深圳数学中考——3年真题及模拟分类汇编

专题16解答压轴函数综合题

一、解答题

1.（2024·广东深圳·统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．

（1）（Ⅰ）列表：

①

②

③

④

⑤

⑥

x

0

2

3

4

5

6

y

0

1

2.25

4

6.25

9

（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；

（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．

①此时点的坐标为________；

②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）

方案二：设C点坐标为

①此时点B的坐标为________；

②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）

（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，若轴且，求a的值．

【答案】（1）图见解析，；

（2）方案一：①；②；方案二：①；②；

（3）a的值为或．

【解析】

【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可；

（3）先求得，，顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可．

【小问1详解】

解：描点，连线，函数图象如图所示，

观察图象知，函数为二次函数，

设抛物线的解析式为，

由题意得，

解得，

∴y与x的关系式为；

【小问2详解】

解：方案一：①∵，，

∴，

此时点的坐标为；

故答案：；

②由题意得，

解得，

故答案为：；

方案二：①∵C点坐标为，，，

∴，

此时点B的坐标为；

故答案：；

②由题意得，

解得，

故答案为：；

【小问3详解】

解：根据题意和的对称轴为，

则，，的顶点坐标为，

∴顶点距线段的距离为，

∴的顶点距线段的距离为，

∴的顶点坐标为或，

当的顶点坐标为时，，

将代入得，解得；

当的顶点坐标为时，，

将代入得，解得；

综上，a的值为或．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

2.（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．

请回答下列问题：

（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；

（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；

（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．

【小问1详解】

解：∵抛物线的顶点，

设抛物线的解析式为，

∵四边形为矩形，为的中垂线，

∴，，

∵，

∴点，代入，得：

，

∴，

∴抛物线的解析式为；

【小问2详解】

∵四边形，四边形均正方形，，

∴，

延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，

∴，

∵，当时，，解得：，

∴，，

∴，

∴；

【小问3详解】

∵，垂直平分，

∴，

∴，

设直线的解析式为，

则：，解得：，

∴，

∵太阳光为平行光，

设过点平行于的光线的解析式为，

由题意，得：与抛物线相切，

联立，整理得：，

则：，解得：；

∴，当时，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形