第1章矢量分析.pptVIP

1.1标量场和矢量场

1.2坐标系的转换

1.3矢量运算

1.4标量场的梯度

1.5亥姆霍兹定理*第29页，共62页，星期日，2025年，2月5日矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅度和方向矢量的表示：用黑体符号来表示(如)或用上面带箭头的符号(如)来表示用有向线段（带箭头的线段）来表示:AB*第30页，共62页，星期日，2025年，2月5日矢量运算矢量的加法矢量的乘法矢量的积分矢量的散度矢量的旋度*第31页，共62页，星期日，2025年，2月5日如果矢量在直角坐标系每个坐标轴上的投影分别为Ax,Ay,Az，则矢量可以写成单位矢量的叠加：为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系如直角坐标系：由三个相互垂直的平面构成，某一点的位置由这三个平面的交叉点来描述：P=（x,y,x）*第32页，共62页，星期日，2025年，2月5日1.3.1矢量的加法运算定义：两个矢量相加的结果为这两个矢量在各个坐标轴上对应分量的和。若在直角坐标系中A=Axax+Ayay+AzazB=Bxax+Byay+Bzaz则A+B=(Ax+Bx)ax+(Ay+By)ay+(Az+Bz)az*第33页，共62页，星期日，2025年，2月5日矢量也可以按平行四边形法则或三角形法则来实现相加：ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB1.3.1矢量的加法运算*第34页，共62页，星期日，2025年，2月5日矢量的加法运算满足：(1)交换律：A+B=B+A(2)结合律：A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)(3)矢量与系数k相乘等于k与各个分量相乘的和：kA=(kAx)ax+(kAy)ay+(kAz)az1.3.1矢量的加法运算*第35页，共62页，星期日，2025年，2月5日两个矢量的乘积有两种定义：点乘和叉乘1）两个矢量的点乘（标量积，点积）定义：A?B=ABcos?其中?为A、B间的夹角，点乘的结果为标量直角坐标系中：A?B=AxBx+AyBy+AzBz1.3.2矢量的乘法运算*第36页，共62页，星期日，2025年，2月5日A在B方向上的投影AB?物理意义：表示一个矢量与另一个矢量投影的乘积两个矢量的点乘满足：（1）A?B=B?A（2）(A+B)?C=A?C+B?C1.3.2矢量的乘法运算*第37页，共62页，星期日，2025年，2月5日（4）两个单位矢量的点乘：ai?aj=1i=j0i≠j推论：A?B=0?A⊥B（可作为两矢量相互垂直的判据）（3）A?A=A2直角坐标系中，A?A=Ax2+Ay2+Az21.3.2矢量的乘法运算*第38页，共62页，星期日，2025年，2月5日2)两个矢量的叉乘（叉积、矢量积）定义：C=A×B模：C=∣A×B∣=ABsin?方向：C⊥A，C⊥B；A、B、C成右手螺旋关系。即叉积垂直于由两个矢量构成的平面。AB?Bsin?C=A×B1.3.2矢量的乘法运算*第39页，共62页，星期日，2025年，2月5日（1）A×B=-B×AA×(B+C)=A×B+A×C（2）A×A=0直角坐标系中，两个矢量的叉乘满足：1.3.2矢量的乘法运算*第40页，共62页，星期日，2025年，2月5日在直角坐标系中，路径长度微分元，曲面积微分元和体积微分元为：1.3.3矢量的积分运算*第41页，共62页，星期日，2025年，2月5日1）矢量场沿曲线C的积分：乘积的积分该积分表示沿路径的切向分量与曲线C的路径长度微分乘积的积分。乘积的积分1.3.3矢量的积分运算*第42页，共62页，星期日，2025年，2月5日沿闭合曲线的线积分定义为矢量场的环流量:沿不闭合曲线的线积分定义为场所做的功:P1??P21.3.3矢量的积分运算环流量的计算*第43页，共62页，星期日，2025年，2月5日环流量的物理意义：——表明c包围涡旋源——表明c不