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河北2025自考[计算机科学与技术]概率论与数理统计（二）易错题专练

一、填空题（每题2分，共10题）

1.若随机变量X～N(μ,σ2)，则Y=(X-μ)/σ～______。

2.设事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=______。

3.样本方差S2的计算公式为______。

4.在假设检验中，若原假设H?为真，但错误地拒绝了H?，这种错误称为______。

5.设总体X服从泊松分布P(λ)，则样本均值X?的数学期望为______。

二、选择题（每题3分，共10题）

6.下列哪个分布是离散型分布？（）

A.正态分布

B.指数分布

C.泊松分布

D.均匀分布

7.若事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(A∩B)=______。

A.0.1

B.0.3

C.0.5

D.0.9

8.样本均值X?的无偏估计量是______。

A.总体均值μ

B.样本方差S2

C.总体方差σ2

D.样本标准差S

9.在假设检验中，若P值小于显著性水平α，则______。

A.接受原假设

B.拒绝原假设

C.无法判断

D.需要增加样本量

10.设总体X服从二项分布B(n,p)，则E(X)=______。

A.np

B.np(1-p)

C.p2

D.n2p

三、计算题（每题10分，共5题）

11.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=\begin{cases}2x,0≤x≤1\\0,其他\end{cases}，求E(X)和D(X)。

12.从一副52张的扑克牌中随机抽取5张，求其中至少有3张红桃的概率。

13.已知样本数据：3,5,7,9,11，计算样本均值、样本方差和样本标准差。

14.设总体X服从正态分布N(10,4)，现抽取样本容量为n=16的样本，求样本均值X?的分布。

15.在显著性水平α=0.05下，检验假设H?：μ=20vsH?：μ≠20，已知样本数据：18,19,20,21,22（总体方差已知，σ=2）。

四、简答题（每题5分，共5题）

16.简述假设检验中犯第一类错误和第二类错误的含义。

17.解释什么是无偏估计量。

18.泊松分布的应用场景有哪些？

19.简述样本均值和样本方差的性质。

20.假设检验中如何选择显著性水平α？

答案与解析

一、填空题

1.标准正态分布

解析：随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，标准化后Y=(X-μ)/σ服从标准正态分布N(0,1)。

2.0.7

解析：事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。

3.S2=\frac{1}{n-1}∑(X?-X?)2

解析：样本方差是样本数据与样本均值的离差平方和的平均值，分母为n-1以消除偏差。

4.第一类错误（α错误）

解析：原假设H?为真时，错误地拒绝了H?，称为α错误，其概率为α。

5.λ

解析：泊松分布P(λ)的数学期望和方差均为λ，样本均值X?是λ的无偏估计量。

二、选择题

6.C

解析：泊松分布是离散型分布，其他选项均为连续型分布。

7.B

解析：事件A与B独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3。

8.A

解析：样本均值X?是总体均值μ的无偏估计量，即E(X?)=μ。

9.B

解析：P值小于α意味着小概率事件发生，应拒绝原假设H?。

10.A

解析：二项分布B(n,p)的期望E(X)=np，方差Var(X)=np(1-p)。

三、计算题

11.E(X)=\frac{2}{3}，D(X)=\frac{1}{18}

解析：

E(X)=∫?1x·2xdx=2∫?1x2dx=\frac{2}{3}；

D(X)=E(X2)-(E(X))2=∫?1x2·2xdx-(\frac{2}{3})2=\frac{1}{3}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}。

12.P=0.6578

解析：用组合数计算，P=C(13,3)·C(39,2)/C(52,5)=0.6578。

13.X?=7，S2=8，S=2\sqrt{2}

解析：

X?=(3+5+7+9+11)/5=7；

S2=\frac{1}{4}[(3-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)2]=8；

S=\sqrt{8}=2\sqrt{2}。

14.X?～N(10,0.25)

解析：样本均值X?服从N(μ,σ2/n)=N(10,4/16)=N(10,0.25)。

15.拒绝H?

解析：

σ已知，用Z检验，检验统计量Z=(X?-μ)/(σ/√n)=(7-20)