第一章 矢量分析 比赛 试讲.ppt

第1章矢量分析第一章矢量分析比赛试讲*第1页，共30页，星期日，2025年，2月5日本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理*第2页，共30页，星期日，2025年，2月5日1.4矢量场的通量与散度1.矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM*第3页，共30页，星期日，2025年，2月5日2.矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量。如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量*第4页，共30页，星期日，2025年，2月5日通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义*第5页，共30页，星期日，2025年，2月5日3.矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。*第6页，共30页，星期日，2025年，2月5日圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：*第7页，共30页，星期日，2025年，2月5日直角坐标系下散度表达式的推导由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为不失一般性，令包围P点的微体积?V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP*第8页，共30页，星期日，2025年，2月5日根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为*第9页，共30页，星期日，2025年，2月5日4.散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。*第10页，共30页，星期日，2025年，2月5日1.5矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋涡源例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。*第11页，共30页，星期日，2025年，2月5日如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线*第12页，共30页，星期日，2025年，2月5日如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。*第13页，共30页，星期日，2025年，2月5日矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。2.矢量场的旋度（）（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度。特点：其值与点M处的方向有关。过点M作一微小曲面?S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0时，极限