第五章 概率与概率分布.pptVIP

（二）随机变量的方差记为D(X)或σ2它们是随机变量所有可能取值偏离其均值的离差的平均水平是随机变量离中趋势的度量第30页，共65页，星期日，2025年，2月5日离散型随机变量的方差：D(X)＝E[xi－E(X)]2＝∑[xi－E(X)]2P(xi)连续型随机变量的方差：D(X)＝均方差（或标准差σ）＝方差的平方根第31页，共65页，星期日，2025年，2月5日四、常用的随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布1.二项分布贝努里试验的特点：（1）每次试验只有两种结果——“成功”(事件A发生)和“失败”(事件A不发生)；（2）每次试验得到一种结果的概率不变（“成功”的概率总是p）；（3）每次试验互相独立。第32页，共65页，星期日，2025年，2月5日如果进行n次贝努里试验，每次成功的概率为p，那么成功次数X是一个随机变量，其概率分布就是一个二项分布，记为X~B(n，p)，此时，有：,二项分布的数学期望和方差：E(X)＝npD(X)＝np(1－p)二项分布的特例——二点分布（0－1分布）即n＝1时的二项分布。第33页，共65页，星期日，2025年，2月5日2.泊松分布它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。比如说在一定时间内顾客的人数、打入电话总机电话的个数、放射性物质放射出来并到达某区域的粒子数等等。在一定时间（或长度）、区域、容积内，小概率事件（稀有事件）发生的次数的概率分布常常用泊松分布来描述。第34页，共65页，星期日，2025年，2月5日参数为λ的泊松分布记为P(λ)。若X~P(λ)，则X取各个值的概率为：,泊松分布的数学期望和方差：E(X)＝λ；D(X)＝λ二项分布与泊松分布的关系：以n、p为参数的二项分布，当n趋于无穷大时，二项分布趋近于以λ为参数的泊松分布，且λ＝np。第35页，共65页，星期日，2025年，2月5日（二）常用的连续型随机变量分布第36页，共65页，星期日，2025年，2月5日1、正态分布正态分布是最重要、最常用的连续型随机变量分布。主要原因在于：许多随机变量服从或近似服从正态分布；由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正态分布近似计算；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；由正态分布可以导出其他许多有用的分布（如卡方分布、t分布、F分布）等等。第37页，共65页，星期日，2025年，2月5日正态分布曲线图均值不同，方差相同均值相同，方差不同σ=0.5σ=2第38页，共65页，星期日，2025年，2月5日正态分布的概率密度正态分布也是一族分布，各种正态分布根据它们的均值和标准差不同而有区别.若X服从正态分布，其均值为μ，方差为σ2，则记为X~N(μ,σ2)，其概率密度为：第39页，共65页，星期日，2025年，2月5日f(x)与F(x)1、f(x)：概率密度函数；F(x):分布函数。2、函数表达式的区别：第40页，共65页，星期日，2025年，2月5日3、图示的区别中：第41页，共65页，星期日，2025年，2月5日正态曲线正态分布的概率密度所对应的图形简称正态曲线正态曲线的主要特征：钟型；对称（以X=μ为对称轴）；以X轴为渐近线；曲线在x=μ-σ及x=μ+σ处有拐点；曲线的陡缓程度取决于参数(方差)σ2。第42页，共65页，星期日，2025年，2月5日标准正态分布特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。常用φ（x）、Ф（x）分别表示标准正态分布的概率密度和分布函数。任何正态分布变量都可以用简单的线性变换（减去其均值、再除以标准差）而成为标准正态分布。X~N(μ,σ2)，则Z=(X－μ)/σ~N(0,1)第43页，共65页，星期日，2025年，2月5日一般正态分布化为标准正态分布第44页，共65页，星期日，2025年，2月5日例：已知：x~N(3,16),求:1、