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2019届高三文科数学重点章节讲义

前言

高三文科数学的复习，是对高中三年数学知识体系的一次系统性梳理与深化。在这个阶段，不仅要求同学们巩固已学知识，更要形成清晰的知识网络，掌握解决各类问题的通性通法，并能灵活运用。本讲义旨在围绕高考文科数学的重点章节，提炼核心知识点，剖析典型题型，点拨解题思路与技巧，助力同学们在复习中有的放矢，高效提升。

本讲义的使用，建议结合教材、课堂笔记以及过往的错题本。对于每个章节，先回顾基础概念与公式，再通过例题体会方法，最后辅以适量练习加以巩固。务必注重理解，而非死记硬背，要努力做到举一反三，触类旁通。

第一章函数、导数及其应用

函数是高中数学的核心内容，贯穿于整个数学学习的始终，也是高考考查的重点与难点。导数作为研究函数性质的强大工具，其应用更是高考的热点。

1.1函数的概念与基本初等函数

核心知识梳理：

*函数的定义：定义域、值域、对应法则是函数的三要素。重点理解定义域的求解（分式、偶次根式、对数式、实际问题等），以及函数的表示方法（解析法、图像法、列表法）。

*函数的性质：单调性（定义法证明、复合函数单调性）、奇偶性（定义、图像特征、常见结论）、周期性（定义、常见周期函数）。这些性质是解决函数问题的基础。

*基本初等函数：

*一次函数与二次函数：二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标），最值问题（含参数讨论），一元二次方程根的分布。

*指数函数与对数函数：定义、图像、性质（单调性、过定点），指数式与对数式的互化，对数的运算性质。注意底数对函数单调性的影响。

*幂函数：了解常见幂函数（如y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=√x）的图像与性质。

主要题型与解题策略：

*函数定义域与值域的求解：定义域紧扣限制条件，值域常用方法有观察法、配方法、单调性法、换元法等。

*函数性质的综合应用：判断或证明函数的单调性、奇偶性；利用性质比较大小、解不等式、求参数范围。解题时要善于结合函数图像。

*二次函数综合问题：涉及最值、零点、恒成立问题等。常需结合图像分析，必要时进行分类讨论。

*指数对数运算与函数图像识别：熟练运用运算性质，掌握函数图像的平移、伸缩变换，能根据图像判断函数类型及参数范围。

易错点提醒：

*忽略函数定义域的优先考虑。

*复合函数单调性判断时，内外层函数单调性的“同增异减”法则应用不准确。

*对数函数的真数大于零这一隐含条件容易遗忘。

1.2导数及其应用

核心知识梳理：

*导数的概念：了解导数的几何意义（函数在某点处的导数即为该点切线的斜率）和物理意义（瞬时变化率）。

*导数的运算：基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则（和、差、积、商），复合函数的求导法则（链式法则）。

*导数的应用：

*求函数的单调区间：导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减。

*求函数的极值与最值：极值点的必要条件（f(x)=0）与充分条件（导数在极值点两侧异号）；最值需在极值点和区间端点处比较得到。

*解决实际生活中的优化问题：建立函数模型，利用导数求最值。

主要题型与解题策略：

*导数的几何意义应用：求曲线在某点处的切线方程或过某点的切线方程（注意“在某点”与“过某点”的区别）。

*利用导数研究函数的单调性：求解不等式f(x)0或f(x)0，得到单调区间。含参数时需分类讨论。

*利用导数求函数的极值与最值：步骤一般为：求导→令导数为零求驻点→判断驻点左右导数符号确定极值→结合区间端点值求最值。

*导数在不等式证明、方程根的个数判断等问题中的应用：常构造辅助函数，通过研究辅助函数的单调性、极值、最值来解决。

*导数在实际优化问题中的应用：关键在于将实际问题转化为数学问题，建立目标函数，然后利用导数求解。

易错点提醒：

*复合函数求导时，链式法则运用出错，尤其是多层复合。

*混淆“导函数为零的点”与“极值点”的关系，导函数为零是极值点的必要非充分条件。

*求最值时，忽略对区间端点的考虑。

*解决含参数问题时，分类讨论的标准不明确或讨论不全面。

第二章三角函数与解三角形

三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他学科中有着广泛应用。解三角形则是三角函数知识在实际测量中的直接应用。

2.1三角函数的图像与性质

核心知识梳理：

*任意角的三角函数：终边相同的角，弧度制与角度制的互化。任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（借助单位圆或直角三角形），三角函数值在各象限的符号。

*同角三角函数基本关系：sin2α+cos2α=1，