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万有引力定律

知识点一：万有引力定律

一、行星与太阳间的引力

行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r.

天文观测测得行星公转周期为T，则

向心力F＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r①

根据开普勒第三定律：eq\f(r3,T2)＝k②

由①②得：F＝4π2keq\f(m,r2)③

由③式可知太阳对行星的引力F∝eq\f(m,r2)

根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′∝eq\f(m太,r2)

则行星与太阳间的引力F∝eq\f(m太m,r2)

写成等式F＝Geq\f(m太m,r2).

二、月—地检验

1.猜想：地球与月球之间的引力F＝Geq\f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律a月＝eq\f(F,m月)＝Geq\f(m地,r2).

地面上苹果自由下落的加速度a苹＝eq\f(F′,m苹)＝Geq\f(m地,R2).

由于r＝60R，所以eq\f(a月,a苹)＝eq\f(1,602).

2.验证：(1)苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8m/s2.

(2)月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108m.

月球公转周期T＝27.3d≈2.36×106s

则a月＝(eq\f(2π,T))2r＝2.7×10－3m/s2(保留两位有效数字)

eq\f(a月,a苹)＝2.8×10－4(数值)≈eq\f(1,602)(比例).

3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律.

三、万有引力定律

1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.

2.表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量.

四、引力常量

牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.

英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.

技巧点拨

一、对太阳与行星间引力的理解

导学探究

1.是什么原因使行星绕太阳运动？

答案太阳对行星的引力使行星绕太阳运动.

2.在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动怎么简化处理的？用了哪些知识？

答案将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律.

知识深化

万有引力定律的得出过程

二、万有引力定律

导学探究

(1)通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100kg，相距1m)间的万有引力我们却感受不到？

图

(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？

答案(1)两个人之间的万有引力大小为：F＝eq\f(Gm1m2,r2)＝eq\f(6.67×10－11×100×100,1)N＝6.67×10－7N，因引力很小，所以通常感受不到.

(2)相等.它们是一对相互作用力.

知识深化

1.万有引力定律表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.

2.万有引力定律公式适用的条件

(1)两个质点间的相互作用.

(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离.

(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离.

三、重力和万有引力的关系

1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：

除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示.

图

(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝Geq\f(Mm,R2).

(2)当物体在赤道上时：

F′＝mω2R最大，此时重力最小

Gmin＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R

(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.

因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mgGeq\f(Mm,R2).

2.重力与高度的关系

若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(Mm,?R＋h?2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.

3.特别说明

(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.

(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq\f(Mm,R2).

例题精练

1．（顺义区校