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九年级数学三角函数综合练习题

三角函数作为初中数学的重要组成部分，不仅是几何推理与代数运算的完美结合，更是解决实际问题的有力工具。通过综合练习，我们能够深化对三角函数定义的理解，熟练掌握其基本性质，并提升运用所学知识分析和解决复杂问题的能力。以下练习题旨在帮助同学们梳理知识脉络，巩固解题技巧，希望大家认真思考，独立完成。

一、知识回顾与要点梳理

在开始练习之前，让我们简要回顾一下本学期所学的三角函数核心内容：

1.锐角三角函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角，其正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）分别等于该角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。这是解决一切三角函数问题的基础，务必烂熟于心。

2.特殊角的三角函数值：30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值是计算的常客，需要准确记忆，并能灵活运用它们进行化简和求值。

3.解直角三角形：已知直角三角形的若干元素（边或角），求出其余未知元素的过程。其主要依据是三角函数的定义和勾股定理。

4.三角函数的实际应用：能够将生活中的测量问题（如高度、宽度、距离等）转化为解直角三角形的问题，关键在于构造合适的直角三角形，并明确仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念。

二、综合练习题

（一）基础概念与基本计算

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求sinA、cosB和tanA的值。

2.计算下列各式的值：

(1)sin30°+cos60°

(2)tan45°-sin60°·cos30°

(3)(sin45°)2+tan30°·cos30°

3.已知α为锐角，且sinα=cos30°，求α的度数及tanα的值。

4.若tanθ=1（θ为锐角），求sinθ+cosθ的值。

（二）解直角三角形

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，求AC和BC的长。

6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，tanB=2，求AC的长和sinA的值。

7.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6，求BC的长（结果保留根号）。（提示：过点A作AD⊥BC于D）

（三）综合应用与拓展

8.如图，某数学兴趣小组为测量学校旗杆AB的高度，在离旗杆底部B点的距离为15米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，求旗杆AB的高度（结果保留根号）。

9.一艘轮船从港口A出发，沿北偏东60°方向航行至B处，然后再沿北偏西30°方向航行至C处。若此时轮船C与港口A相距60海里，求轮船从A到B，再从B到C的航行总路程（结果保留根号）。

10.如图，某山坡的坡面AB的坡度i=1:√3，坡长AB=10米。求坡顶B相对于坡底A的垂直高度h和水平距离l。

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，∠ADC=60°，求BD的长和sinB的值。

三、参考答案与提示

（一）基础概念与基本计算

1.sinA=4/5，cosB=4/5，tanA=4/3。（提示：先求AB=5）

2.(1)1；(2)1/4；(3)3/4。（提示：代入特殊角的三角函数值准确计算）

3.α=60°，tanα=√3。（提示：cos30°=sin60°）

4.√2。（提示：θ=45°，sinθ=cosθ=√2/2）

（二）解直角三角形

5.AC=4，BC=4√3。（提示：cos60°=AC/AB，sin60°=BC/AB）

6.AC=10，sinA=√5/5。（提示：tanB=AC/BC，求出AC后，用勾股定理求AB）

7.BC=3√2+√6。（提示：AD=BD=AB·sin45°=3√2，DC=AD/tan60°=√6）

（三）综合应用与拓展

8.AB=1.5+5√3米。（提示：过D作DE⊥AB于E，AE=DE·tan30°=15×(√3/3)=5√3）

9.总路程为(30√3+30)海里。（提示：画出图形，易知△ABC是直角三角形，∠BAC=30°，∠ABC=90°）

10.h=5米，l=5√3米。（提示：坡度i=h:l=1:√3，设h=k，l=√3k，由勾股定理k2+(√3k)2=102）

11.BD=√3-1，sinB=√21/7。（提示：在Rt△ACD中求AD=√3，AC=2，进而求AB=√(AD2+BD2)，注意BD=BC-CD，BC=AD/tanB，这里可先求出∠B的对边AC和斜边AB）

四、解题反思与方法总结

完成以上练习后，建议同学们对照答案进行细致的核对与反思。三角函数的学习，关键在于理解其几何意义，并能熟练运用定义进行边与角的转化。在解题过程中，要注