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线性代数自考试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）

A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）

C.（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）D.（1，0，1），（0，1，0），（1，0，1）

【答案】A

【解析】A选项中的向量组是单位向量组，线性无关。

2.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的转置矩阵$A^T$是（）

A.$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}23\\14\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}$

【答案】A

【解析】转置矩阵是将原矩阵的行列互换得到的。

3.向量空间$R^3$的一个基是（）

A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）

C.（1，0，1），（0，1，0），（1，0，1）D.（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）

【答案】A

【解析】A选项中的向量组是单位向量组，是$R^3$的一个基。

4.行列式$\begin{vmatrix}123\\456\\789\end{vmatrix}$的值是（）

A.0B.1C.-1D.6

【答案】A

【解析】计算行列式可以发现其两行成比例，因此行列式的值为0。

5.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的秩是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】矩阵$A$的秩等于其非零子式的最高阶数，这里$A$是一个2阶矩阵，且行列式不为0，所以秩为2。

6.向量$\mathbf{v}=(1，2，3)$在基$\mathbf{b}_1=(1，0，0)$，$\mathbf{b}_2=(0，1，0)$，$\mathbf{b}_3=(0，0，1)$下的坐标是（）

A.(1，2，3)B.(0，0，0)C.(1，0，0)D.(0，1，0)

【答案】A

【解析】向量在给定基下的坐标就是该向量与基向量的线性组合的系数。

7.矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$存在的前提是（）

A.$A$是方阵B.$A$的秩为0C.$A$的行列式为0D.$A$的行数大于列数

【答案】A

【解析】矩阵$A$存在逆矩阵的前提是$A$是一个方阵且其行列式不为0。

8.向量空间$R^n$的维数是（）

A.1B.nC.$n^2$D.$2^n$

【答案】B

【解析】向量空间$R^n$的维数就是$n$。

9.矩阵$A$的秩等于其行向量组的秩，这个结论是（）

A.正确B.错误

【答案】A

【解析】矩阵的秩等于其行向量组的秩是线性代数中的一个基本结论。

10.向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$线性相关当且仅当（）

A.$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$都是零向量B.存在不全为0的数$k_1，k_2$使得$k_1\mathbf{u}+k_2\mathbf{v}=\mathbf{0}$

C.$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的分量成比例D.$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的正交

【答案】B

【解析】向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$线性相关的定义就是存在不全为0的数$k_1，k_2$使得$k_1\mathbf{u}+k_2\mathbf{v}=\mathbf{0}$。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性代数中的基本概念？（）

A.向量空间B.线性变换C.矩阵D.行列式E.概率分布

【答案】A、B、C、D

【解析】向量空间、线性变换、矩阵和行列式都是线性代数中的基本概念，而概率分布属于概率论中的概念。

2.矩阵$A$的伴随矩阵$A^$满足以下哪个性质？（）

A.$AA^=|A|I$B.$A^A=|A|I$C.$A^=|A|A^{-1}$D.$A^=A$

【答案】A、B

【解析】矩阵$A$的伴随矩阵$A^$满足$AA^=|A|I$和$A^A=|A|I$。

3.以下哪些向量组是线性无关的？（）

A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）

C.（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）D.（1，0，1），（0，1，0），（1，0，1）

【答案】A

【解析】A选项中的向量组是单位向量组，线性无关；B、C、D选项中的向量组都存在线性相关性。

4.矩阵$A$的秩小于其阶数时，以下哪些结论是正确的？（）

A.$A$