2025年专升本重庆市高数一考试真题及参考答案.docxVIP

2025年专升本重庆市高数一考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=1处取得极大值

D.f(x)在x=1处取得极小值

答案：A

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。计算f(x)=6x，可得f(1)=60，故f(x)在x=1处取得极小值。选A。

2.函数y=e^xsinx在x=0处的导数为（）

A.1

B.0

C.e^x

D.e^xsinx

答案：B

解析：y=e^xcosx+e^xsinx，代入x=0，得y(0)=e^0cos0+e^0sin0=1+0=1。故选B。

3.设函数y=ln(x+1)，当x=0时，函数的增量为（）

A.1

B.0

C.1/e

D.e

答案：C

解析：函数的增量为Δy=ln(x+Δx+1)ln(x+1)，代入x=0，得Δy=ln(Δx+1)ln1=ln(Δx+1)。当Δx=1时，Δy=ln2，故Δy的近似值为1/e。选C。

4.设函数f(x)=x^2+kx+1，当f(x)在x=1处取得极值时，k的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.2

答案：D

解析：f(x)=2x+k，令f(x)=0，得x=k/2。当x=1时，k/2=1，解得k=2。但此时f(x)=20，故f(x)在x=1处取得极小值。由于题目要求极值，故k应为2。选D。

5.设a为常数，则方程x^3ax^2+2xa=0在实数范围内有（）

A.一个实根

B.两个实根

C.三个实根

D.无法确定

答案：C

解析：令f(x)=x^3ax^2+2xa，计算f(x)=3x^22ax+2。f(x)的判别式为4a^224，当a0时，判别式大于0，f(x)有两个实根，故f(x)有三个实根。当a0时，同样有f(x)有三个实根。故选C。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^33x+1在x=1处的切线方程为______。

答案：y=3x2

解析：f(x)=3x^23，代入x=1，得f(1)=0。f(1)=1^331+1=1。故切线方程为y(1)=0(x1)，即y=3x2。

2.函数y=e^xsinx的一阶麦克劳林展开式为______。

答案：y=x+1

解析：y=e^xcosx+e^xsinx，代入x=0，得y(0)=1。y=e^xsinx+e^xcosx+e^xcosx，代入x=0，得y(0)=2。故y的麦克劳林展开式为y=y(0)+y(0)x+y(0)x^2/2+...=1+x+x^2。

3.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。

答案：f(x)=13x+x^3

解析：f(0)=1，f(0)=3，f(0)=0，f(0)=6。故f(x)的泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x^2/2+f(0)x^3/6=13x+x^3。

4.设函数y=ln(x+1)，求y在x=0处的二阶泰勒展开式。

答案：y=xx^2/2

解析：y=1/(x+1)，代入x=0，得y(0)=1。y=1/(x+1)^2，代入x=0，得y(0)=1。故y的二阶泰勒展开式为y=y(0)+y(0)x+y(0)x^2/2=xx^2/2。

5.设函数f(x)=x^2+kx+1，求f(x)在x=1处的极值。

答案：极小值，f(1)=2

解析：f(x)=2x+k，令f(x)=0，得x=k/2。当x=1时，k/2=1，解得k=2。此时f(x)=20，故f(x)在x=1处取得极小值。f(1)=1^221+1=0，但由于k=2，故f(1)=1+(2)1+1=2。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的单调区间。

答案：单调递增区间为(∞,1]和[3,+∞)，单调递减区间为[1,3]。

解析：f(x)