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2025年专升本重庆市高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,1)∪(1,+∞)

B.(∞,1)

C.(1,1)

D.(1,+∞)

答案：A

解析：求f(x)的导数f(x)=3x^23，令f(x)0，解得x1或x1。故f(x)的单调递增区间为(∞,1)∪(1,+∞)。

2.设函数y=ln(x1)，则函数的定义域是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(∞,1)

D.(1,+∞)

答案：D

解析：由于对数函数的定义域要求x10，解得x1。故函数的定义域是(1,+∞)。

3.设函数f(x)=e^x，则f(x)=（）

A.e^x

B.e^x+1

C.e^x1

D.e^xx

答案：A

解析：求f(x)的一阶导数f(x)=e^x，再求f(x)的导数，得f(x)=e^x。

4.设函数f(x)=2x^33x^212x+8，求f(x)的极值点。

A.x=2

B.x=1

C.x=3

D.x=2

答案：B

解析：求f(x)的导数f(x)=6x^26x12，令f(x)=0，解得x=1或x=2。将x=1和x=2代入f(x)，得f(1)=15，f(2)=8。故f(x)的极值点为x=1。

5.设函数f(x)=sin(x)，求f(π/6)的值。

A.1/2

B.√3/2

C.1/2

D.√3/2

答案：B

解析：sin(π/6)=√3/2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(3)的值。答案是______。

答案：0

解析：将x=3代入f(x)，得f(3)=(3)^2+2(3)+1=96+1=4。

2.求极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值。答案是______。

答案：1

解析：利用洛必达法则，求导数lim(x→0)(cos(x)/1)=cos(0)=1。

3.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的值。答案是______。

答案：3x^23

解析：求f(x)的导数，得f(x)=3x^23。

4.求函数f(x)=x^22x+1在x=1处的切线方程。答案是______。

答案：y=0

解析：f(x)=2x2，将x=1代入，得f(1)=0。切线方程为yf(1)=f(1)(x1)，即y0=0(x1)，所以y=0。

5.求不定积分∫(1/x)dx的值。答案是______。

答案：ln|x|+C

解析：利用对数函数的积分公式，得∫(1/x)dx=ln|x|+C。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^24x+3，求f(x)的单调区间和极值。

解：f(x)=2x4，令f(x)=0，解得x=2。当x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增。故f(x)的单调递减区间为(∞,2)，单调递增区间为(2,+∞)。将x=2代入f(x)，得f(2)=1，故f(x)的极小值为1。

2.求极限lim(x→∞)(x^2/e^x)的值。

解：由于这是一个“∞/∞”型极限，可以使用洛必达法则。求导数lim(x→∞)(2x/e^x)=lim(x→∞)(2x/e^x)=0。

3.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的拐点。

解：f(x)=3x^212x+9，f(x)=6x12。令f(x)=0，解得x=2。当x2时，f(x)0，f(x)凹；当x2时，f(x)0，f(x)凸。故f(x)的拐点为(2,f(2))，将x=2代入f(x)，得f(2)=3。拐点为(2,3)。