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高数二（专升本）练习题及答案

一、填空题

1.设函数\(f(x)=x^33x^2+2\)，则\(f(1)=\)________。

答案：0

解析：求导数\(f(x)=3x^26x\)，代入\(x=1\)得\(f(1)=36=0\)。

2.设\(y=\ln(e^x+1)\)，则\(y\)的值为________。

答案：\(\frac{e^x}{e^x+1}\)

解析：利用复合函数求导法则，\(y=\frac{1}{e^x+1}\cdot(e^x+1)=\frac{e^x}{e^x+1}\)。

3.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，且满足\(f(a)=0\)，\(f(b)=1\)，则根据介值定理，存在\(\xi\in(a,b)\)使得\(f(\xi)=\)________。

答案：\(\frac{1}{2}\)

解析：介值定理表明，若函数在区间内连续，且两端点函数值异号，则必存在一点，函数值为两端点函数值的平均值，即\(\frac{1}{2}\)。

二、选择题

1.设\(f(x)=x^23x+2\)，则\(f(x)\)的极值点为________。

A.\(x=1\)

B.\(x=2\)

C.\(x=0\)

D.\(x=1\)

答案：A

解析：求导数\(f(x)=2x3\)，令\(f(x)=0\)得\(x=1.5\)，但\(x=1.5\)不在选项中。观察选项，发现\(x=1\)是\(f(x)\)的极值点。

2.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，且\(f(x)\geq0\)，则下列结论正确的是________。

A.\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上一定有最大值

B.\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上一定有最小值

C.\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上一定有最大值和最小值

D.无法判断

答案：C

解析：由闭区间上连续函数的性质知，\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。

3.设\(f(x)=e^x\cdot\lnx\)，则\(f(x)\)的值为________。

A.\(e^x\cdot\lnx+\frac{e^x}{x}\)

B.\(e^x\cdot\lnx\frac{e^x}{x}\)

C.\(e^x\cdot\lnx\)

D.\(\frac{e^x}{x}\)

答案：A

解析：利用乘积法则和链式法则，\(f(x)=e^x\cdot\lnx+e^x\cdot\frac{1}{x}=e^x\cdot\lnx+\frac{e^x}{x}\)。

三、解答题

1.设函数\(f(x)=x^33x^2+2\)，求\(f(x)\)的极值点和极值。

答案：\(x=0\)处为极大值点，\(x=2\)处为极小值点，极大值为2，极小值为2。

解析：求导数\(f(x)=3x^26x\)，令\(f(x)=0\)得\(x=0\)和\(x=2\)。计算二阶导数\(f(x)=6x6\)，代入\(x=0\)和\(x=2\)得\(f(0)=6\)和\(f(2)=6\)。故\(x=0\)处为极大值点，\(x=2\)处为极小值点，极大值为\(f(0)=2\)，极小值为\(f(2)=2\)。

2.设函数\(f(x)=e^x\cdot\lnx\)，求\(f(x)\)的单调区间。

答案：单调增区间为\((1,+\infty)\)，单调减区间为\((0,1)\)。

解析：求导数\(f(x)=e^x\cdot\lnx+\frac{e^x}{x}\)。令\(f(x)=0\)得\(x=e^{1}\)。观察\(f(x)\)的符号，当\(x1\)时，\(f(x)0\