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高数一专升本练习题及答案

一、填空题

1.设函数\(y=\ln(e^x+e^{x})\)，则\(y\)的值为________。

答案：1

解析：根据链式法则，\(y=\frac{d}{dx}\ln(e^x+e^{x})=\frac{1}{e^x+e^{x}}\cdot(e^xe^{x})=\frac{e^{2x}1}{e^{2x}+1}=1\)。

2.设函数\(f(x)=x^33x+1\)，则\(f(1)\)的值为________。

答案：0

解析：\(f(x)=3x^23\)，则\(f(1)=3\cdot1^23=0\)。

3.设函数\(f(x)=x^2\sinx\)，则\(f(x)\)的值为________。

答案：\(2x\sinx+(2x^2)\cosx\)

解析：\(f(x)=2x\sinx+x^2\cosx\)，则\(f(x)=2\sinx+2x\cosx+2x\cosxx^2\sinx=2x\sinx+(2x^2)\cosx\)。

4.设\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)，则\(\intf(x)\,dx\)的值为________。

答案：\(\arctanx+C\)

解析：\(\intf(x)\,dx=\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctanx+C\)。

5.设\(f(x)=e^x\sinx\)，则\(\intf(x)\,dx\)的值为________。

答案：\(e^x\sinxe^x\cosx+C\)

解析：利用分部积分法，设\(u=e^x\)，\(dv=\sinx\,dx\)，则\(du=e^x\,dx\)，\(v=\cosx\)。则\(\intf(x)\,dx=uv\intv\,du=e^x\cosx+\inte^x\cosx\,dx\)。再次利用分部积分法，设\(u=e^x\)，\(dv=\cosx\,dx\)，则\(du=e^x\,dx\)，\(v=\sinx\)。则\(\inte^x\cosx\,dx=e^x\sinx\inte^x\sinx\,dx\)。将此式代入原式，得\(\intf(x)\,dx=e^x\cosx+e^x\sinx\intf(x)\,dx\)。解得\(\intf(x)\,dx=\frac{1}{2}e^x(\sinx\cosx)+C\)。

二、选择题

6.设函数\(f(x)\)在\(x=0\)处可导，且\(f(0)=1\)，\(f(0)=2\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)1}{x^2}\)的值为（）

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：C

解析：根据洛必达法则，\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{2}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty\)。由于\(f(x)\)在\(x=0\)处可导，故\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)1}{x^2}\)存在。将\(f(0)=1\)和\(f(0)=2\)代入，得\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2}{2x}=6\)。

7.设函数\(f(x)=x^22x+3\)，则函数\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值为（）

A.3

B.4

C.5

D.7

答案：D

解析：求\(f(x)\)的导数\(f(x)=2x2\)。令\(f(x)=0\)，得\(x=1\)。计算\(f