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大学高级奥数题目及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数$f(x)=e^{x}\sinx$在$x=0$处的导数是（）

A.0B.1C.-1D.2

2.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$（）

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断

3.设向量$\vec{a}=(1,-2,3)$，$\vec{b}=(-2,4,-6)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$（）

A.平行B.垂直C.夹角为$60^{\circ}$D.夹角为$120^{\circ}$

4.曲线$y=x^{3}-3x^{2}+2$的拐点是（）

A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(-1,-2)$D.$(2,-2)$

5.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，则$A$的伴随矩阵$A^{}$是（）

A.$\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}42\\31\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}-4-2\\-3-1\end{pmatrix}$

6.设随机变量$X$服从正态分布$N(1,4)$，则$P(X\leqslant1)$的值为（）

A.0.5B.0.25C.0.75D.0.1

7.函数$z=\ln(x+y)$的定义域是（）

A.$x+y\geqslant0$B.$x+y\gt0$C.$x\gt0$且$y\gt0$D.$x\geqslant0$且$y\geqslant0$

8.微分方程$y-2y+y=0$的通解是（）

A.$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}$B.$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}$C.$y=C_{1}\cosx+C_{2}\sinx$D.$y=C_{1}+C_{2}x$

9.由曲线$y=\sqrt{x}$，$x=1$，$x=4$及$x$轴所围成图形的面积是（）

A.$\frac{14}{3}$B.$\frac{7}{3}$C.$\frac{10}{3}$D.$\frac{16}{3}$

10.已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则下列说法正确的是（）

A.$f(x)$在$[a,b]$上恒为0B.至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=0$

C.$f(x)$在$[a,b]$上单调递减D.$f(x)$在$[a,b]$上单调递增

多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）

A.$y=x^{3}$B.$y=\sinx$C.$y=e^{x}$D.$y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

2.下列级数中，收敛的有（）

A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$

3.关于矩阵的运算，下列说法正确的有（）

A.$(AB)C=A(BC)$B.$(A+B)C=AC+BC$

C.$AB=BA$D.若$AB=AC$，且$A$可逆，则$B=C$

4.设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,1)$，则（）

A.$X+Y\simN(1,2)$B.$X-Y\simN(-1,2)$

C.$X\cdotY$服从正态分布D.$X+Y$与$X-Y$相互独立

5.函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微的充分条件有（）

A.函数在该点处连续

B.函数在该点处偏导数存在

C.函数在该点处偏导数连续

D.$\lim\limits_{\