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人教版八年级数学平行四边形专题辅导

同学们，在平面几何的世界里，四边形是一个大家族，而平行四边形无疑是这个家族中最基础也最重要的成员之一。从小学对平行四边形的初步认识，到初中阶段对其性质和判定进行系统学习，平行四边形的知识贯穿了我们几何学习的多个阶段。今天，我们就来深入探讨平行四边形的定义、性质、判定以及它们在解题中的应用，希望能帮助大家构建起清晰的知识网络，提升解决几何问题的能力。

一、平行四边形的定义：把握本质，夯实基础

我们研究任何一个几何图形，都是从定义开始的。那么，什么是平行四边形呢？

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

这个定义非常关键，它揭示了平行四边形最本质的特征。我们通常用符号“?”来表示平行四边形，例如，平行四边形ABCD可以记作“?ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。在表示时，要注意字母的顺序需要按顺时针或逆时针方向依次书写。

理解这个定义，要抓住两个核心要素：“两组对边”和“分别平行”。这意味着，只要一个四边形满足了这两个条件，它就是平行四边形；反过来，一个平行四边形必然满足这两个条件。这个定义既是平行四边形的判定方法（定义法），也是平行四边形的一个基本性质。

二、平行四边形的性质：探索特征，掌握规律

一旦我们明确了平行四边形的定义，接下来自然要探究它具有哪些独特的性质。这些性质是我们解决与平行四边形相关问题的依据。

我们可以从边、角、对角线三个方面来梳理平行四边形的性质。

（一）边的性质

1.平行四边形的对边平行。这是由平行四边形的定义直接得到的，无需额外证明。即：在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC。

2.平行四边形的对边相等。这是平行四边形非常重要的一条性质。我们可以通过连接平行四边形的一条对角线，将其分成两个全等的三角形来证明这一点。例如，连接AC，则△ABC≌△CDA（ASA或AAS），从而得到AB=CD，AD=BC。

（二）角的性质

1.平行四边形的对角相等。同样，利用上述全等三角形，我们可以很容易得到∠B=∠D，∠BAD=∠BCD。

2.平行四边形的邻角互补。由于平行四边形的对边平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质，不难得出平行四边形的任意两个邻角之和为180°。例如，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等。

（三）对角线的性质

平行四边形的对角线互相平分。即：平行四边形两条对角线相交于一点，这个点是两条对角线的中点。如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则OA=OC，OB=OD。这条性质的证明，同样可以通过证明三角形全等来实现（例如△AOB≌△COD）。

温馨提示：平行四边形的这些性质是解决线段相等、角相等、线段平行、图形面积等问题的重要工具。在运用时，要注意“平行四边形”这个前提条件，不能在非平行四边形中随意套用。

三、平行四边形的判定：明确定理，灵活运用

如果说性质是“已知平行四边形，能得到什么”，那么判定就是“满足什么条件的四边形是平行四边形”。掌握判定方法，是我们识别平行四边形、解决几何证明题的关键。

平行四边形的判定方法主要有以下几种：

1.定义判定法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。这是最基本、最直接的判定方法，其他判定方法往往也是以此为基础推导出来的。

2.判定定理1（边）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

*简述：对边相等→平行四边形。

*思路：可通过连接对角线，证明三角形全等，进而得到内错角相等，从而证得对边平行，再由定义判定。

3.判定定理2（边）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

*简述：一组对边平行且相等→平行四边形。（“平行且相等”常用符号“∥=”表示）

*这是一个非常常用且便捷的判定方法，要注意是“一组对边”既要平行又要相等。

4.判定定理3（角）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

*简述：对角相等→平行四边形。

*思路：利用四边形内角和为360°，可推出邻角互补，从而得到对边平行。

5.判定定理4（对角线）：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

*简述：对角线互相平分→平行四边形。

*思路：可通过证明三角形全等（例如△AOB≌△COD），得到对边平行或相等。

判定方法的选择策略：

在具体题目中，究竟选择哪种判定方法，要根据题目所给的已知条件来灵活决定。例如：

*若已知条件主要涉及边的关系（相等或平行），优先考虑边的判定方法（定义、判定1、判定2）。

*若已知条件主要涉及角的关系（相等），考虑角的判定方法（判定3）。

*若已知条件涉及对角线，考虑对角线的判定方法（判定4）。

重要提醒：

“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是