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6二元二次式的分解

形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的x、y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．

6．1欲擒故纵

【例1】分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2．

【解】如果只有二次项x2＋2xy－3y2，那么就由算式

得x2＋2xy－3y2＝(x－y)(x＋3y)．

如果没有含y的项，那么对于多项式x2＋3x＋2，由算式

得x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．

如果没有含x的项，那么对于多项式－3y2＋y＋2，由算式

得－3y2＋y＋2＝(－y＋1)(3y＋2)．

把以上三个算式“拼”在一起，写成

便得到所需要的分解：

x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2

＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．

上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．

长十字中的第一行1－1＋1表示因式x－y＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x＋3y＋2．

为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．

【例2】分解因式：6x2－5xy－6y2＋2x＋23y－20．

【解】先进行两次十字相乘，由算式

得6x2－5xy－6y2＝(2x－3y)(3x＋2y)，

6x2＋2x－20＝(2x＋4)(3x－5)．

为避免混淆，我们在算式中写上（x）、（y）、（1），表示相应的列是x、y的系数或常数项．然后把两个算式拼成

检验一下，正好有(－3)×(－5)＋2×4＝23，

于是6x2－5xy－6y2＋2x＋23y－20

＝(2x－3y＋4)(3x＋2y－5)．

6．2三元齐次

长十字相乘对于三个字母x、y、z的二次齐次式ax2＋bxy＋cy2＋dxz＋3yz＋fz2也同样适合．

【例3】分解因式：x2－6xy＋9y2－5xz＋15yz＋6z2．

【解】由算式

得x2－6xy＋9y2－5xz＋15yz＋6z2

＝(x－3y－2x)(x－3y－3z)．

【例4】已知：a、b、c为三角形的三条边，且

a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0．

求证：2b＝a＋c．

【证明】由算式

得a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2

＝(a－b＋3c)(a－2b＋c)．

于是，由已知条件，得

(a－b＋3c)(a－2b＋c)＝0．

因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以

a－b＋3c≠0，

从而a－2b＋c＝0，

即2b＝a＋c．

6．3项数不全

如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．

【例5】分解因式：x2－y2＋5x＋3y＋4．

【解】由算式

得x2－y2＋5x＋3y＋4

＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．

在例5中，如果仅看x2－y2与x2＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式

在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．

【例6】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．

【解】由算式

得x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y

＝(x＋2y)(x＋y＋2)．

6．4能否分解

二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．

【例7】为什么数时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？

【解】对于多项式x2＋7xy－18y2，由算式

对于多项式x2－5x－24，由算式

这两个算式可以拼成长十字相乘

或

对第一个长十字相乘，有

9×3＋(－2)×(－8)＝43，

而对第二个长十字相乘，有

9×(－8)＋(－2)×3＝－78，

所以，m＝43或m＝－78时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得

x2＋7