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2025年专升本广东省数学练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^33x在区间（∞,+∞）内的最大值为3，则f(x)在区间（∞,+∞）内的最小值为（）

A.3

B.0

C.2

D.2

答案：A

解析：f(x)=x^33x，求导得f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。将x=1和x=1分别代入f(x)，得f(1)=2，f(1)=2。由于f(x)在（∞,+∞）内有两个极值点，且在x=1处为极大值，故f(x)的最小值为3。

2.已知a=3i4j，b=2i+j，则向量a与向量b的夹角为（）

A.π/3

B.π/4

C.π/2

D.π/6

答案：B

解析：向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)。计算得a·b=(3×2)+(4×1)=2，|a|=√(3^2+(4)^2)=5，|b|=√(2^2+1^2)=√5。所以cosθ=2/(5×√5)=√5/5，θ=π/4。

3.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列的通项公式为（）

A.a_n=4n3

B.a_n=4n2

C.a_n=4n1

D.a_n=4n

答案：A

解析：S_n=2n^2+n，S_{n1}=2(n1)^2+(n1)=2n^23n+2。所以a_n=S_nS_{n1}=4n3。

4.已知函数f(x)=x^2+k在区间（∞,+∞）内有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）

A.k0

B.k=0

C.k0

D.k≠0

答案：C

解析：函数f(x)=x^2+k有两个不同的零点，等价于方程x^2+k=0有两个不同的实数解。根据判别式Δ=b^24ac，得Δ=04k0，所以k0。

5.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)在x=0处的切线方程。

A.y=1

B.y=x+1

C.y=x1

D.y=x+1

答案：B

解析：f(x)=3x^23，f(0)=3。切线方程的斜率为3，切点为(0,f(0))=(0,1)。所以切线方程为y1=3(x0)，即y=3x+1。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的极值。

答案：极小值0

7.已知等比数列{an}的前n项和为S_n=3^n1，求首项a_1。

答案：2

8.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,1)，求向量a与向量b的夹角余弦值。

答案：1/√10

9.已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)在x=1处的二阶导数。

答案：6

10.已知函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在x=1处的切线斜率。

答案：2

三、解答题（共50分）

11.（10分）已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间和极值。

解：f(x)=3x^26。令f(x)=0，得x=±√2。f(x)在x=√2处由正变负，故f(x)在x=√2处取得极大值；f(x)在x=√2处由负变正，故f(x)在x=√2处取得极小值。极大值为f(√2)=16，极小值为f(√2)=4。f(x)在区间（∞,√2）和（√2,+∞）内单调递增，在区间（√2,√2）内单调递减。

12.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式和前10项和。

解：a_n=S_nS_{n1}=4n3。前10项和S_10=2×10^2+10=210。

13.（15分）已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)在x=1处的切线方程。

解：f(x)=3x^23，f(1)=0。切线方程为yf(1)=f(1)(x1)，即y1=0。

14.（10分）已知函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在x=1处的切线方程。

解：f(x)=2x+2，f(1)=0。切线方程为yf(1)=f(1)(x+1)，即y=x+2。