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七年级数学函数应用题及详细解析

函数，作为描述变量之间依赖关系的重要数学工具，从七年级开始逐步进入我们的视野。它不仅仅是抽象的数学符号，更是解决实际问题的有力武器。掌握函数应用题的解法，能帮助我们更好地理解世界的运行规律，培养逻辑思维和解决问题的能力。本文将通过几个典型例题，详细解析七年级数学函数应用题的解题思路与方法，希望能为同学们提供有益的参考。

一、函数的基本概念回顾

在解决应用题之前，我们先简要回顾一下函数的基本概念。在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。函数关系可以用表格、图像或关系式（解析式）来表示。七年级阶段，我们主要接触的是用关系式表示的函数，特别是一次函数（包括正比例函数）。

二、典型应用题及详细解析

（一）行程问题中的函数关系

例题1：小明骑自行车从家去学校，他的平均速度是每分钟v米。

（1）写出小明离家的距离s（米）与骑车时间t（分钟）之间的函数关系式。

（2）如果小明家到学校的距离是1500米，他需要骑多久才能到学校？（用含v的代数式表示）

（3）若v=200米/分钟，求小明出发后3分钟时离家的距离，以及他到达学校所需的时间。

解析：

（1）分析题意，找出变量关系：这是一个典型的行程问题。我们知道，路程=速度×时间。题目中，小明骑车的平均速度是v米/分钟，这是一个常量（在这个问题的情境下，我们假设速度保持不变）；骑车时间t分钟是自变量，因为时间是主动变化的；离家的距离s米是因变量，它随着时间t的变化而变化。

列出函数关系式：根据“路程=速度×时间”，可以直接得到s与t的函数关系式为：s=v×t，即s=vt。这里要注意，t的取值范围是t≥0，因为时间不能为负数。

（2）明确已知量和未知量：题目要求的是到达学校所需的时间，已知家到学校的距离是1500米，即当s=1500米时，求t的值。

代入关系式求解：由（1）得到的s=vt，当s=1500时，有1500=vt。我们需要用含v的代数式表示t，所以将等式两边同时除以v（v≠0），得到t=1500/v。因此，小明到学校需要骑1500/v分钟。

（3）代入具体数值计算：

*求出发后3分钟离家的距离：此时v=200米/分钟，t=3分钟。将v和t的值代入s=vt，得到s=200×3=600米。所以，小明出发后3分钟时离家600米。

*求到达学校所需的时间：此时s=1500米，v=200米/分钟。我们可以直接使用（2）中得到的t=1500/v，代入v=200，得到t=1500/200=7.5分钟。所以，他到达学校需要7.5分钟。

解题反思：行程问题是函数应用的基础模型，关键在于理解速度、时间、路程三者之间的关系，并能准确地将文字信息转化为数学表达式。对于含有字母系数的问题（如本题中的v），要理解其代表的实际意义，并能正确进行代数运算。

（二）工程问题与分段计费问题

例题2：某城市居民用电的收费标准是：每月用电量不超过a度（含a度），按每度0.5元收费；如果超过a度，超出部分按每度0.6元收费。

（1）若小明家一个月用电x度，用含x和a的代数式表示该月应缴的电费y元。

（2）若该市规定a为200度，小明家7月份用电260度，求小明家7月份应缴的电费。

解析：

（1）分析收费方式，判断是否为分段函数：题目中电费的收取标准分为两种情况：不超过a度和超过a度。因此，电费y与用电量x之间的函数关系不是单一的，而是分段的，这是一个分段函数的应用问题。

分情况讨论，列出关系式：

*当用电量x不超过a度，即0≤x≤a时：电费按每度0.5元收费，所以y=0.5x。

*当用电量x超过a度，即xa时：其中a度按每度0.5元收费，超出的部分是(x-a)度，这部分按每度0.6元收费。因此，总电费y=0.5a+0.6(x-a)。我们可以对这个式子进行化简：y=0.5a+0.6x-0.6a=0.6x-0.1a。

所以，应缴电费y元与用电量x度之间的函数关系式为：

y=0.5x,当0≤x≤a时；

y=0.6x-0.1a,当xa时。

（2）确定具体参数和用电量范围：已知a=200度，小明家7月份用电260度。首先判断260度是否超过a度，260200，所以适用第二种收费标准。

代入相应的函数关系式计算：使用xa时的关系式y=0.6x-0.1a。