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2025年专升本广东省数学（理科）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则方程f(x)=0在区间(0,2)内根的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：首先求导f(x)=3x^23，令f(x)=0，解得x=±1。因为f(0)=1，f(2)=3，f(1)=1，f(1)=4。由零点定理，f(x)在(0,2)内至少有一个零点。根据罗尔定理，f(x)在(0,2)内只有一个零点。

2.设矩阵A=[12;34]，则矩阵A的逆矩阵A^(1)等于（）

A.[21;31]

B.[42;31]

C.[21;31]

D.[42;32]

答案：A

解析：计算矩阵A的行列式det(A)=1423=2。由于行列式不为0，矩阵A可逆。根据公式A^(1)=(1/det(A))[42;31]，得到A^(1)=[21;31]。

3.设函数y=e^(2x)+ln(x)，求y在x=1处的导数（）

A.e^2

B.e^2+1

C.2e^2

D.2e^2+1

答案：B

解析：求导y=2e^(2x)+1/x。将x=1代入，得y(1)=2e^2+1。

4.设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值（）

A.最大值8，最小值1

B.最大值8，最小值1

C.最大值9，最小值1

D.最大值9，最小值1

答案：A

解析：求导f(x)=2x+2，令f(x)=0，解得x=1。计算f(2)=3，f(1)=2，f(2)=8。所以f(x)在区间[2,2]上的最大值为8，最小值为1。

5.设函数y=cos(x)，求y在x=π/3处的切线方程（）

A.y=√3(xπ/3)+1/2

B.y=√3(xπ/3)1/2

C.y=√3(xπ/3)1/2

D.y=√3(xπ/3)+1/2

答案：B

解析：求导y=sin(x)。将x=π/3代入，得y(π/3)=√3/2。切点坐标为(π/3,1/2)。切线方程为y1/2=√3/2(xπ/3)，整理得y=√3(xπ/3)1/2。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数y=x^36x+9，求y的二阶导数y。

答案：6x6

7.设函数f(x)=e^xsin(x)，求f(x)。

答案：e^x(sin(x)+cos(x))

8.设矩阵A=[23;45]，求矩阵A的行列式det(A)。

答案：1

9.设函数y=ln(x^2)，求y在x=e处的导数。

答案：2/e

10.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在x=2处的切线斜率。

答案：3

三、解答题（每题25分，共75分）

11.已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

答案：f(x)在x=1处取得最小值0，在x=3处取得最大值4。

解析：求导f(x)=2x2，令f(x)=0，解得x=1。计算f(0)=1，f(1)=0，f(3)=4。所以f(x)在区间[0,3]上的最大值为4，最小值为0。

12.已知函数f(x)=e^x(x1)，求f(x)的极值。

答案：f(x)在x=1处取得极大值e^1，在x=0处取得极小值1。

解析：求导f(x)=e^x(x1)+e^x=xe^x。令f(x)=0，解得x=0。计算f(0)=1，f(1)=e^1。所以f(x)在x=1处取得极大值e^1，在x=0处取得极小值1。

13.设函数y=x^33x^2+2，求y在x=2处的切线方程。

答案：y=3x+8

解析：求导y=3x^26x。将x=2代入，得y(2)=612=6。切点坐标为(2,2)。切线方程为y2=6(x2)，整理得y=3x+8。