第三章力学位移和应变分析.pptVIP

§3-7无旋变形和等体积变形

位移矢量公式考虑位移在物体所占空间各点的分布和变化的规律，引入位移场的概念。由场的概念定义位移场如果在物体所占空间内的每一点，都对于着大小和方向完全确定的位移，就称在这个空间里确定了该位移的场，而这空间区域叫做位移场。用场论的观点来分析位移：第61页，共88页，星期日，2025年，2月5日一、无旋变形势量场如物体变形时，其中任一微小体积都不作刚性转动，这样的变形称为无旋变形，即：如果连续体内的位移场有一个标量位φ，则位移场等于此标量位的梯度。这种位移场称为势量场，或无旋场第62页，共88页，星期日，2025年，2月5日利用矩阵表示为：第29页，共88页，星期日，2025年，2月5日称为应变张量第30页，共88页，星期日，2025年，2月5日二、求过A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量Adr1C’B’CBA’dr2’dr2dr1’CCAB的方向余弦为AC的方向余弦为第31页，共88页，星期日，2025年，2月5日变形前夹角变形后夹角第32页，共88页，星期日，2025年，2月5日第33页，共88页，星期日，2025年，2月5日A’B’的方向余弦为A’C’的方向余弦为第34页，共88页，星期日，2025年，2月5日利用矩阵表示为：第35页，共88页，星期日，2025年，2月5日变形后夹角第36页，共88页，星期日，2025年，2月5日夹角改变量为第37页，共88页，星期日，2025年，2月5日第38页，共88页，星期日，2025年，2月5日矩阵表示第39页，共88页，星期日，2025年，2月5日§3-4转轴时应变分量的变换与应力分析相似，当坐标轴旋转时，物体内一点对旋转后新坐标系的应变分量，可以由原来的应变分量来表示。将坐标系转过某个角度，得到新坐标系新老坐标之间的关系为：n3m3l3n2m2l2n1m1l1zyxl,m,n表示新坐标轴对原老坐标轴的方向余弦第40页，共88页，星期日，2025年，2月5日第41页，共88页，星期日，2025年，2月5日第42页，共88页，星期日，2025年，2月5日第43页，共88页，星期日，2025年，2月5日§3-5主应变和主方向过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直方向的剪应变是不同的。问题：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使沿这三个方向的微分线段，在物体变形后只是各自改变了长度，而夹角仍保持为直角。我们可以证明存在此单元体；我们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变主轴，此方向的正应变称为主应变。第44页，共88页，星期日，2025年，2月5日设AB表示物体内一点沿A沿其主方向的微分线段，其方向余弦为l,m,n,变形后，线段AB变为A’B’,方向余弦为l’,m’,n’ε表示线段AB的正应变，即主应变。第45页，共88页，星期日，2025年，2月5日将式子变形可得：第46页，共88页，星期日，2025年，2月5日线段AB的方向余弦为l,m,n,变形后，线段AB变为A’B’,方向余弦为l’,m’,n’；一般来说，它们是不相等的。但是它们的偏离是由于单元体的刚性转动所引起的。故（l,m,n）与（l,‘m’,n‘）一致第47页，共88页，星期日，2025年，2月5日此为应变主方向应该满足的方程，方向余弦还应该满足与应力分析相似，采用分析主应力的方法可以得出求主应变的方程为：应变状态的特征方程第48页，共88页，星期日，2025年，2月5日分别称为第一、第二、第三应变不变量第49页，共88页，星期日，2025年，2月5日由应变状态的特征方程求德的三个根就是A点的三个主应变。求主应变的方向，即应变主方向，将主应变的结果带入方程可以求出。当已知主应变时第50页，共88页，星期日，2025年，2月5日求与主应变所对应方向余弦两式均除以第51页，共88页，星期日，2025年，2月5日可以求出同理，可以求出另外两个主平面的方向余弦。第52页，共88页，星期日，2025年，2月5日主应变与主方向之间的对应关系第53页，共88页，星期日，2025年，2月5日方程根的讨论必定为三个实根，证明方式同第二章证明应力时相同，采用反证法。第54页，共88页，星期日，2025年，2月5日特点一点的应变状态与坐标系选取无关，因此