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自主招生广东省深圳市面试题(中考)模拟精练试题详解

面试问答题（共20题）

第一题

在一次数学探究活动中，小明发现了一个有趣的规律：从3开始，依次写出的所有三位数，3,31,312,3121,31212,312121,3121212,…，如果把它们逐个相加（即3+31+312+3121+31212+…），请你尝试找出第九个数在所有这些数相加的过程中，对总和贡献的“权重”（即它的个位、十位、百位、千位…分别对总和贡献了多少）。请简要说明你的思考过程。

答案：

第九个数是312121212。

我们需要找出这个数在上述序列所有数相加时的“权重”，即它的每一位（从最高位到最低位）对最终总和的贡献。

思考过程与权重分析：

观察序列中的规律：

3(只贡献了3)

31(贡献了3和1)

312(贡献了3,1和2)

3121(贡献了3,1,2和1)

31212(贡献了3,1,2,1和2)

312121(贡献了3,1,2,1,2和1)

…

可以看到，除了最开始的3之外，后续每一个数的每一位都会在序列中重复出现。具体来说：

‘3’出现了1+1+1+1+1+1+1=7次

‘1’出现了1+2+3+4+5=15次

‘2’出现了1+2+3=6次

现在看第九个数312121212：

它的最高位是第9位的‘3’。在序列中，这个‘3’是出现在第9个数的开始，之前的第1,4,7,10,13,16,19,…个数（即形如…3121212…的数）的开始。因此，这个‘3’会对总和贡献7次（因为序列是无限的）。

它的第二位是第9位的‘1’。在序列中，这个‘1’会出现在第8个数的最后（…31212），第9个数的倒数第二位（…31211），第10个数的倒数第三位（…31212），依此类推，直到出现‘1’的位数超过9。具体看：…3121212,…3112121,…3121212,…*1212121,我们可以数一下：它在第9个数、第10个数、…、第25个数中出现，总共出现了25-9+1=17次。

它的第三位是第9位的‘2’。在序列中，这个‘2’会出现在第7个数的最后（…31212），第8个数的倒数第二位（…31212），第9个数的倒数第三位（…31212）。依此类推，直到出现‘2’的位数超过9。具体看：…3122121,…3221212*,我们可以数一下：它在第9个数、第10个数、…、第20个数中出现，总共出现了20-9+1=12次。

它的第四位是第9位的‘1’。这个‘1’位于序列中前面几位数的中间。它出现在：第8个数的倒数第三位（…312121），第7个数的倒数第四位（…3121221*），…。它在第9个数、第10个数、…、第21个数中出现，总共出现了21-9+1=13次。

其余各位‘2’,‘1’,‘2’,’1’同理，可以分别数出它们在后续序列中出现的次数，分别是：11次、10次、10次、11次。

总结权重：

第九个数312121212对总和的贡献权重如下（从最高位到最低位）：

百位上的‘3’：出现7次→贡献7×300=2100

十位上的‘1’：出现17次→贡献17×10=170

个位上的‘2’：出现12次→贡献12×2=24

十万位上的‘1’：出现13次→贡献13×100000=1300000

万位上的‘2’：出现11次→贡献11×20000=220000

千位上的‘1’：出现10次→贡献10×1000=10000

百位上的‘2’：出现10次→贡献10×200=2000

十位上的‘1’：出现10次→贡献10×10=100

个位上的‘2’：出现11次→贡献11×2=22

将这些贡献相加：

2100+170+24+1300000+220000+10000+2000+100+22=1553296

解析：

解答本题的关键在于：

理解规律：认识到序列是逐个增加数字构成的，并且每个后续数字都包含前一个数字。

计算出现次数：目标是计算第九个数312121212中的每一个数字（从最高位‘3’到最低位‘2