（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编操作与探究.docVIP

操作与探究

1、（13年北京5分22）阅读下面材料：

小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：

解析：

考点：操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）

解析：

3、（2013山西，21，8分）（本题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。

①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。

【解析】解：①作图正确，并有痕迹。

②连接BE并延长交AM于点F。

（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。

【解析】解：AF∥BC且AF=BC

理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C

由作图可知：∠DAC=2∠FAC

∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.

∵E是AC的中点，∴AE=CE,∵∠AEF=∠CEB∴△AEF≌△CEB∴AF=BC.

4、（13年山东青岛、23）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式

第23题图①

第23题图①

第23题图②

【研究速算】

第23题图③提出问题：47×43，56×54，79×71，……

第23题图③

几何建模：

用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：

（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的

矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43

的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形

面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋

3×7＝2021

用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，

再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果

归纳提炼：

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）

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第23题图

第23题图④

【研究方程】

几何建模：

要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）

【研究不等关系】

几何建模：

（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为

归纳提炼：

解析：

5、(2013年江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

●操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．

●数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

●类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

答：．

【答案】解：

●操作发现：①②③④

●数学思考：

答：MD=ME，MD⊥ME，

１、MD=ME；

如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MF=AC．

又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC且EG=AC，

∴MF=EG．

同理可证DF=MG．

∵MF∥AC，

∴∠MFA＋∠BAC=180°．

同理可得∠MGA+∠BAC=180°，

∴∠MFA=∠MGA．

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．

同理可得∠DFA=90°，

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA